高中数学人教A版 (2019)必修 第一册正切函数的性质与图象综合训练题

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要点一：正切函数的图象
1、正切函数，且，图象：
要点二：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
要点诠释：
1、观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴
2、正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
知识点三、正切函数型的性质
1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2、值域：
3、单调区间：
（1）把“”视为一个“整体”；
（2）时，函数单调性与的相同（反）；
（3）解不等式，得出范围．
4、周期：
【题型归纳目录】
题型一：正切函数的定义域问题
题型二：正切函数的对称性问题
题型三：正切函数的周期性问题
题型四：正切函数的单调性问题
题型五：正切函数的最值与值域问题
题型六：正切函数的奇偶性问题
题型七：正切函数的图像问题
题型八：解不等式问题
题型九：比较大小问题
题型十：正切函数的综合问题
题型十一：根据正切函数单调性求参数的范围问题
【典型例题】
题型一：正切函数的定义域问题
例1．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
例2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象求得解集．
题型二：正切函数的对称性问题
例4．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图像关于点成中心对称
C．在区间上单调递增
D．图像关于直线成轴对称
例5．函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
例6．已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
变式4．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，对称中心为
B．的最小正周期为，对称中心为
C．的最小正周期为，对称中心为
D．的最小正周期为，对称中心为
变式5．函数和的图象在区间上交点的横坐标之和为（ ）
A．6B．4C．8D．12
变式6．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（ ）
A．B．C．或D．
变式7．若直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
题型三：正切函数的周期性问题
例7．给出下列函数：①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
例9．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
变式9．函数的图像相邻的两支截直线所的线段长度为，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
变式11．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
变式12．直线与函数的图像相交，则相邻两交点间的距离是（ ）
A．B．C．D．
变式13．若，则等于（ ）
A．-B．C．0D．-2
【方法技巧与总结】
一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期．
题型四：正切函数的单调性问题
例10．函数的单调递增区间为（ ）
A．，B．，
C． ，D． ，
例11．函数的单调递增区间是（ ）
A．，B．
C．D．
例12．已知函数
(1)求的定义域和最小正周期；
(2)求的单调区间．
变式14．已知函数．
(1)求的定义域和值域．
(2)讨论的最小正周期和单调区间．
(3)求的对称中心．
【方法技巧与总结】
求函数（，，都是常数）的单调区间的方法
若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可．
若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可．
题型五：正切函数的最值与值域问题
例13．函数的值域为______.
例14．函数，的值域为______．
例15．函数的值域为_______________.
变式16．（若函数在区间内至少有4次失去意义，则的最小值为______．
变式17．函数，的值域是______．
变式18．若函数，的图象都在轴上方，则实数的取值范围为___________.
【方法技巧与总结】
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
题型六：正切函数的奇偶性问题
例16．已知函数（，为常实数），且，则______．
例17．函数的奇偶性是__________．
例18．已知函数，且，则______．
变式19．已知函数，若，则（ ）
A．5B．3C．1D．0
变式20．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．函数既是偶函数又是周期函数
B．函数既是奇函数，又是增函数
C．函数的最小正周期为
D．函数的最大值为
变式21．已知函数，若，则（ ）
A．－100B．102C．98D．－102
变式22．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
奇函数，即．
题型七：正切函数的图像问题
例21．设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；
（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.
变式23．在区间内，函数与的图像交点的个数是（ ）个.
A．0B．1C．2D．3
变式24．函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
变式25．已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
作正切型函数图象应注意的问题
作的图象一般是先作出其在一个周期内的图象，由于在一个周期内是单调函数，不需要使用五点法，直接利用单调性作图即可．
题型八：解不等式问题
例22．已知且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例23．满足的三角形的内角A的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式27．使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式29．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
变式30．若，则的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
整体法，再利用图像解决．
题型九：比较大小问题
例25．比较大小：tan ________tan .
例26．设则a，b，c的大小关系是_________．（用“