初中数学湘教版（2024）九年级下册过不共线三点作圆优秀课后作业题

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（解析卷）
A.夯实基础
题型一 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
1．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ）
A．24B．28C．32D．36
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，
是的内切圆，切点分别为，，，
，，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，设，则，
在中
，
解得：x=2，
，，
．
故选：A．
2．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线DE剪一个，则的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：B．
3．在中，，，，则内切圆的半径为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
设内切圆的半径为r，则有：，
∴；
故选B．
4．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可．
【详解】解：为直角三角形，
令．
选项A：，选项B：，选项C：，选项D：，
只有D选项结果跟其他选项结果不一致，
表达式错误的是D选项，
故选：D．
5．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接．
(1)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解．
【详解】（1）解：，理由：
如图，连接，
为的内心，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为，
为的内心，即为的内切圆的圆心，
分别为该内切圆与三边的切点，
，
，
，
，
，
的周长为
．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B两点的坐标，由勾股定理则可求得；设圆P的半径为R，由内切圆的性质得；由求得R的值，
从而求得点P的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求得函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数两个解析式，求得C、D的坐标，从而得点E的坐标，则可求得的长．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，
令，即，得；令，得，
∴，
∴由勾股定理得：，
设圆P的半径为R，
∵内切于，设分别切x轴、y轴于点E、F，
平分，，
，
∴四边形是正方形；
∴；
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：联立方程组得，
解得或，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内切圆，待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标轴交点，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握这些知识是关键．
题型二 圆外切四边形模型
7．如图，是四边形的内切圆．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵是四边形的内切圆，
∴，，， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选：A；
【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到．
8．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．3B．4
C．D．
【答案】C
【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长．
【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点，
∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上，
∴DF=DE，OF⊥DC，
∴GF⊥DC，
∴OG⊥AB，
∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径．
在等腰直角三角形DEH中，DE=2，
∴EH=DH==AE．
∴AD=AE+DE=+2．
故选C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
9．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（ ）
A．1.5B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径．
【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，，
连接，，，，，，，，的半径为，如图：
，，
四边形的面积
，
解得：．
故的半径为3．
故选：B．
10．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．
（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．

【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m.
【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC，
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【详解】(1)AB+CD=AD+BC
证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，
所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，
即AB+CD=AD+BC
(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，
AD+BC=2m，
梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m
【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .
题型三 三角形内心有关应用
11．三角形的内心是（ ）
A．三角形的三条高所在直线的交点B．三角形的三条中线的交点
C．三角形的三条角平分线的交点D．三角形的三边线段垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质．
根据三角形的内心的定义解答即可．
【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，
故选：C．
12．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】根据点是的内心，可得，可判断①正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，可判断④正确．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，
∴对应的圆心角相等，
∴，
∴，故①说法正确；
如图，连接，，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，故②说法正确；
∵，
∵点为的中点，
∴线段经过圆心O，
∴，
∴成立，故③说法正确；
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④说法正确；
综上分析可知，①②③④正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
13．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，平分交于点，过点作，交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若，，求的长．
(3)如图，在（2）的条件下，点是上一点，且的内心在边上，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接交于点，利用等边对等角的性质和角平分线的定义得到，结合，等量代换得到，再利用切线的判定即可证明；
（2）由为直径可得，证出四边形是矩形，再利用垂径定理得到，设半径为，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，进而得到的长，再通过证明即可求出的长；
（3）连接交于点，在上截取，连接、，由（2）中的数据计算可得，；由的内心为，可得，再利用角的和差可得出，进而证出，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接交于点，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线．
（2）解：由（1）得，，
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设半径为，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，即，
解得：．
的长为．
（3）解：连接交于点，在上截取，连接、，
由（2）得，，，，，，
，，，
，
；
的内心为，
平分，平分，
，，
，
，，
，
，
，
由（1）得，，
，
平分，即，
又，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形利用勾股定理，并结合图形综合运用圆的性质是解题的关键．本题属于圆综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
题型四 一般三角形的周长、面积与内切圆半径的关系
14．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）
A．B．3C．1D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质及勾股定理，关键在于作辅助线构建直角三角形．欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．
【详解】解：过点作，则．
是的内心，
；
中，，，
，
，
．
故选：A．
15．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
16．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（ ）
A．B．24C．26D．52
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可．
【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，，
，
，
则的面积为26，
故选：C
17．如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）根据三角形的内心是角平分线的交点并结合三角形内角和定理计算即可得解；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F．
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的内切圆，
∴，，，
设，，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
题型五 三角形内切圆与外接圆的综合
18．如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、三角形的内角和定理．利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案．
【详解】解：点为的外心，，
，
，
点为的内心，
，
，
故选：A．
19．已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点．
(1)求证：；
(2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心．
【答案】(1)见解析
(2)点D是连接图中点构成的三角形的外心．
【分析】本题考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、弧、弦、圆心角之间的关系等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）连接，证明即可得到结论．
（2）连接，，证明则点在的垂直平分线上，由得到点在的垂直平分线上，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图
∵的内心为，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）连接，，
∵，
∴，
∴
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴点D是的外心，
即点D是连接图中点构成的三角形的外心．
20．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)若于点M．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，理解内心的概念及性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键，
（1）连接，根据是的内心，可得，由数量关系可得，由此即可求解；
（2）连接交于点E，可得，，，可证，由数量代换即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的内心，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：连接交于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
．
21．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD、BE、CF的交点G就是的重心，且．请你解决以下问题：
(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）
(2)在图1中，若的面积为6，则的面积为__________；
(3)如图2，是的内心，，AI的延长线分别与BC和的外接圆交于D、E两点，若，求IE的长．
【答案】(1)内，内
(2)1
(3)
【分析】本题考查了重心、内心的定义，底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例，等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等，勾股定理．
（1）运用三角形重心、内心的定义回答；
（2）底高成比例的三角形的三角形面积也成相同比例；
（3）根据等边三角形的性质，同弧所对圆心角相等及勾股定理解答．
【详解】（1）解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点，
∴三角形的重心在三角形的内部，
∵三角形的内心是三角形的内切圆圆心，
∴三角形的内心在三角形的内部，
故答案为：内，内．
（2）解：∵的面积为6，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
（3）解：连接，做于
，
∴．
是等边三角形
于，，
故答案为：
B.提高能力
22．如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵内切圆分别于、、相切于点、、，
∴，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
在中，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．如图，的内切圆与、、相切于点、、，已知，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．
【详解】解：连接，，，，，．
∵的内切圆与、、相切于点、、，
∴，且，，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
，
即，
解得，
设，则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
∴．
故选：C．
24．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质．
【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可知：，，，，，
，，
，，
，
故选：D．
25．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)11
【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的内切圆，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，
∴，，
∴的周长为：
∵，，，
∴
．

26．如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分．
(1)求证：直线是的切线．
(2)若的半径为5，，求的长．
(3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证；
（）由垂直平分得到，，利用勾股定理求出，得到的长，再利用勾股定理即可求出的长；
（）连接，由点为的内心，得到，，进而得到，，利用角的关系可得到，即可得到．
【详解】（1）解：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
，
，
，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点为的内心，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键．
27．是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题．
(1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________．
(2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离．
(3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的内心和外心之间的距离；
(3)为定值，，理由见解析．
【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解；
（）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解；
（）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点，
∵点、、在一条直线上，
∴，
∴，，
∴由勾股定理得：，
设半径为，
由勾股定理定理：，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴的内心和外心之间的距离；
（3）解：为定值，，理由，
如图，连接，，，，，设与交于点，
由（）得：，
∵是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．