湘教版（2024）九年级下册圆心角、圆周角精品随堂练习题

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题型一 圆心角概念辨析
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答．
【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
B、是圆心角，故选项符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
故选：B．
2．如图所示，表示圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角．
【详解】解：图D中是圆心角．
故选：D．
3．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角．
故选：B．
4．如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，圆心角的相关知识，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过作于，则，对运用勾股定理即可求解．
【详解】解：过作于，由题意得，
，
∴，
∵，
，
，
∴，
故选：C．
题型二 求圆弧的度数
5．已知，是的直径，弦，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键．
【详解】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵弦，
∴ ，
∴
∴的度数是；
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵弦，
∴ ，
∴
∴的度数是；
综上可知：的度数是或，
故选：．
6．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
7．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
8．如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数．
【答案】，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴的度数为，．
∵，
∴，
；
∴的度数是．
题型三 利用弧、弦、圆心角之间的关系求解
9．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵C、D是上的三等分点，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，取的中点，连接，
∵弧长等于弧长的2倍，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得，
∴．
故选：C．
11．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ．
【答案】8
【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定．
连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答．
【详解】解：连接，，
则，
∵点A，B分别为半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：8
12．如图， 是的直径，弦，若，则的度数是 ．
【答案】30°/30度
【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数．
【详解】
连接，
，
．
，
，
，
∴的度数是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键．
13．如图，已知，交于点B，．
(1)求的度数；
(2)求弧的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答．
（1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数．
（2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
而，得，
∴，
而，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
又，
∴
∴弧的度数为．
题型四 利用弧、弦、圆心角之间的关系求证
14．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：B．
15．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
、不能保证，符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
故选：．
16．如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证；
（2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴的度数为，
∵的度数为，
∴的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17．如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，连接，由为的中点，得到，再得到，根据，分别是，的中点，得到，进而证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
∵为的中点，
，
，
又∵，分别是，的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
．
18．如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．
【详解】，连接
∵
∴
又∵
∴
∴，
∵，
∴．
19．如图，点是上的三点，，求证：平分．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，连，由，则，故有，然后根据“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
B.提高能力
20．已知是的直径，弦，分别过M，N作的垂线，垂足为C，D．有以下结论：①；②；③若四边形是正方形，则；④若M为的中点，则D为中点．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：如图所示，连接、，
、，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，故②正确，
，，
，故①正确，
当四边形是正方形时，，

，
，故③错误，
若是的中点，连接，而
，
，
是等边三角形，
，
，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
21．如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据条件和，即可求解；
（2）根据第（1）问的结论和即可求解．
【详解】（1）解：；
∵，，，
∴
（2）解：∵，，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．
22．如图，，是的弦，，，是的半径，且，，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出AAOB≌AAOC，故可得出，再由平行线的性质可得出，，故，进而得出结论．
【详解】证明∶连接，，，
在与中，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
23．如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，．
(1)求证．
(2)若E为的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理：
（1）根据，得到，等角对等弧，即可得证；
（2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴．
24．如图，在中，半径，分别交弦AB于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键．
（1）连接、，过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可；
（2）只要证明即可解题．
【详解】（1）证明：过O作于M，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
25．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．
（1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得；
（2）由得到，推出，再得到，则．
【详解】（1）解：，理由如下，
证明：过点作直径，如图，
，，是的半径，，
，
点D，E分别是，的中点，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
26．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．
（1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得；
（2）由得到，推出，再得到，则．
【详解】（1）解：，理由如下，
证明：过点作直径，如图，
，，是的半径，，
，
点D，E分别是，的中点，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
27．如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D．
(1)求证：；
(2)已知半径为r，设，求x与y的关系式；
(3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正弦的定义、圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图：连接，根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得，最后根据弧长定义即可解答；
（2）如图：连接，与交于点Q，先证可得，进而说明；再说明，最后运用勾股定理列式化简即可解答；
（3）如图：连接，把，代入求得；再说明，最后运用勾股定理及正弦的定义即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，与交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵是半径，，
∴，
在和中，
由勾股定理得，
∵，
∴，即，整理得．
（3）解：如图：连接，
把，代入，得，解得（不合题意，舍去），，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．