初中数学湘教版（2024）九年级下册正多边形与圆精品随堂练习题

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级下册正多边形与圆精品随堂练习题，文件包含湘教版数学九年级下册27《正多边形与圆》4大题型提分练原卷版docx、湘教版数学九年级下册27《正多边形与圆》4大题型提分练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
A.夯实基础
题型一 求正多边形的中心角
1．正十边形的中心角度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可．
【详解】解：正十边形中心角的度数，
故选：A．
2．已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，熟悉掌握中心角的求法是解题的关键．
根据外角的度数求出多边形的边数，再由中心角求解即可．
【详解】解：∵正多边形的一个外角等于，
∴，此正多边形为边形，
∴中心角，
故选：D．
3．如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握正多边形的性质和n边形的内角和公式为是解题关键．先计算正五边形的内角和正五边形的中心角，再作差即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，，
∴．
故选D．
4．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键．
利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可．
【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C，
∵正六边形的周长为6，
∴，，是等边三角形，
∴，，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为，
故选B．
5．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
【答案】周长，面积
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
题型二 已知正多边形的中心角求边数
6．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键．
根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：设正多边形的边数为n，
则有，
解得，
是所列方程的解，且符合题意，
∴该正多边形的边数为6．
故选：A．
7．一个正边形绕其中心旋转72°后能与自身重合，则可取的值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，分别计算等于各选项值时的中心角，逐项判断即可得到答案，熟记正多边形的性质及旋转后对称是解决问题的关键．
【详解】解：当时，，
∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意；
当时，，
∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项正确，符合题意；
当时，，
∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意；
当时，，
∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意；
故选：．
8．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12B．15C．18D．24
【答案】B
【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，
多边形是正边形，
，
，
正边形中心角为，
，
故选：B．
9．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（ ）
A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正六边形
【答案】B
【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题．
【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正八边形；
如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边形；
如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形，
而得不出十边形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关键．
题型三 尺规作图——正多边形
10．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画的角B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
11．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对
C．两人都不对D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
12．仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，是的直径，点是上异于，的一点，请画出的内接矩形；
(2)如图②，是的直径，是弦，且，请画出的内接正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图；
（1）连接并延长交于点D，即可得到的一个内接矩形；
（2）连接，BD交于点G，延长，BD交于点H，连接并延长交于点E，F两点，则即为所作．
【详解】（1）解：如图，矩形即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
题型四 正多边形与圆的综合
13．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意，
，
故选：D．
14．如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可．
【详解】如图，连接 ，，，．
正三角形的中心角 ，
正八边形的中心角 ，
，
，
．
15．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．
【详解】解：连接、、，
五边形是的内接正五边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
．
故选：．
16．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第1000次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转为一个循环，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，设交轴于点，
，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，
，轴，，，
是等边三角形，，
，，
，
，
将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转°，次一个循环，
第次旋转结束时，点的坐标为，
，
第1000次旋转结束时，点A的坐标为，
故选：A．
17．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，根据正八边形的性质得，，点、、共线，且点是的中点，证明得，证明得，推出，可判断①；推出点与点重合，得，可得的度数，可判断③；在中，，得，根据等积法得，继而得到，，得，求解后可判断②；分别求出正八边形和四边形的面积，可判断④．
【详解】解：设正八边形的中心为点，连接、、、、、、，过点作于点，过点作于点，设正八边形的边长为，，
∵八边形是正八边形，
∴，
每个内角的度数是：，中心角的度数是：，
∴，
，
∴，
∴点、、共线，且点是的中点，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中，，
按同样的方法得，
∴，
在中，，
∴，故结论①正确；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴点是、的中点，
∴点与点重合，
∴，
∴，故结论③正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确结论的序号是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质，正多边形的内角、中心角，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，多边形的面积和梯形的面积等知识点．解题的关键是掌握正多边形的性质．
18．已知正六边形的外接圆圆心为，半径．
(1)求正六边形的边长；
(2)求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质．
（1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到；
（2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，，，
∵正六边形的外接圆圆心为，
∴，，
∴是等边三角形，
，
即正六边形的边长；
（2）∵，
，
，
的长．
19．如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，．
(1)求的度数：
(2)若的半径为r，则阴影部分面积是________；
(3)当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）连接，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得；
（2）根据即可求出答案；
（3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接，
∵正方形内接于，
∴，
∴．
（2）由题意可得，阴影部分面积是：
，
故答案为：
（3）解：连接，如图所示：
∵正方形内接于，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、正方形的性质、扇形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
B.提高能力
20．如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键．
连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长．
【详解】解：如图，连接，，
由题意可知：，
是正六边形，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
21．如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】（1）正n边形每条边对应的圆心角度数为，因此为反比例函数关系；
（2）d与r是的邻边和斜边，因此是化简后即正比例函数关系；
（3）三角形面积为×底×高，底为，高为，直接代入即可．
【详解】①，所以与n满足的函数关系是反比例函数关系，正确；
②，所以，所以d与r满足的函数关系是正比例函数关系，正确；
③，所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确．
故选D
【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂题意，求出其中的函数关系式．
22．如图①，在中，为边上的中线，以点为顶点的直角绕点旋转，两边分别与交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，则面积的最小值为_______；
(3)拓展应用：如图②，点是半径为2的正十二边形的中心，点在此正十二边形的边上，连接，若，则阴影部分面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)3
【分析】（1）根据为边上的中线，可得即可证明；
（2）先证明，可知当时，面积最小，根据此时是等腰直角三角形求出，即可求解；
（3）将正十二边形进行分割证明，可得阴影面积倍的面积，即可求解．
【详解】（1）证明：在Rt中，，
，
，
，
为边上的中线，
，，，
，
，
；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴当最短时，面积最小，
根据垂线段最短，即，面积最小，如图，

∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∵为边上的中线，
∴，
∴
解得：，即
∴，
∴面积的最小值为1；
（3）作辅助线如图所示，其中，

由正十二变形的性质可得：
又∵
∴，
即
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴
∵，
∴阴影面积；
【点睛】本题考查了几何问题，涉及到平行截线成比例线段、全等三角形的判定与性质等，掌握分割法是关键．
23．如图，正六边形为的内接正六边形．
(1) 度；
(2)比较劣弧与正六边形最长对角线的长度哪个更长？
(3)连接，M为线段上的动点，连接，，的半径为r，求和的面积和（用含r的式子表示）．
【答案】(1)60
(2)劣弧比正六边形最长对角线的长．
(3)
【分析】本题考查圆与正多边形的基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键．
（1）根据正多边形性质求解即可；
（2）连接，CF，CF为正六边形最长对角线，通过弧长公式算出劣弧的长度与CF比较即可；
（3）如图，过点作于点，先求出的长度，再分别用r表示出和的面积，再相加计算即可．
【详解】（1）解：∵正六边形为的内接正六边形．
∴，
故答案为：60．
（2）如图，连接，CF，CF为正六边形最长对角线，
设的半径为，则，，
∴，
∴劣弧的长度为：，
∴劣弧比正六边形最长对角线的长．
（3）如图，过点作于点，
∴，
∵正六边形的内角和为：，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
又∵正六边形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
24．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得，则．
拓展应用：通过证明可得，则．
【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．