初中数学湘教版九年级下册2.2 圆心角、圆周角第2课时教案
展开1.在实际操作中探索圆的性质,进一步探索直径所对的圆周角的特征,并能应用其进行简单的计算与证明;(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质;(重点)
3.在探索过程中,体会观察、猜想的思维方法,在定理的证明过程中,体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法.
一、情境导入
如图是一个圆形笑脸,给你一个三角板,你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗?
二、合作探究
探究点一:圆周角定理的推论2
【类型一】 利用圆周角定理的推论2求角
(2015·广东模拟)如图,BD是⊙O的直径,∠CBD=30°,则∠A的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:由BD是直径得∠BCD=90°.∵∠CBD=30°,∴∠BDC=60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角,∴∠A=∠BDC=60°.故选C.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用圆周角定理的推论2求线段长
如图所示,点C在以AB为直径的⊙O上,AB=10cm,∠A=30°,则BC的长为________.
解析:由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°.在Rt△ABC中,因为∠A=30°,所以BC=eq \f(1,2)AB=eq \f(1,2)×10=5(cm).故答案为5cm.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型三】 利用圆周角定理的推论2进行有关证明
如图所示,已知△ABC的顶点在⊙O上,AD是△ABC的高,AE是⊙O的直径,求证:∠BAE=∠CAD.
解析:连接BE构造Rt△ABE,由AD是△ABC的高得Rt△ACD,要证∠BAE=∠CAD,只要证出它们的余角∠E与∠C相等,而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角.
证明:连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°.∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠CAD+∠C=90°.∵eq \(AB,\s\up8(︵))=eq \(AB,\s\up8(︵)),∴∠E=∠C.∵∠BAE+∠E=90°,∠CAD+∠C=90°,∴∠BAE=∠CAD.
方法总结:涉及直径时,通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形,并借助直角三角形的性质来解决问题. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二:圆的内接四边形及性质
【类型一】 利用圆的内接四边形的性质进行计算
如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=________度.
解析:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B+∠ADC=180°.∵四边形OABC为平行四边形,∴∠AOC=∠B.又由题意可知∠AOC=2∠ADC.∴∠ADC=180°÷3=60°.连接OD,可得AO=OD,CO=OD.∴∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC.∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠D=60°.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 利用圆的内接四边形的性质进行证明
如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.
解析:由已知易得∠E=∠BCE,由同角的补角相等,得∠A=∠BCE,则∠E=∠A.
证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠DCB=180°.∵∠BCE+∠DCB=180°,∴∠A=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.
方法总结:在运用圆的内接四边形的性质进行证明或计算时,可通过“圆内接四边形对角互补”得到角的对应关系,通过转化求解.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
教学过程中,强调在圆中进行证明或计算时,只要出现直径就要想到90°,出现直角,就要想到半圆或直径,通过适量的练习,加深学生的理解,培养学生良好的思维习惯.
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