精品解析：　吉林省长春市朝阳区吉林大学附中慧谷学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷+答案

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1. 下列四个实数中，无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实数的分类、无理数，根据无理数是无限不循环小数逐项判断求解即可．
【详解】解：观察选项中的数，0，，是有理数，是无理数，故选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意，
故选：C．
2. 计算的结果是（ ）
A. 9B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选B．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂相乘（除），合并同类项，根据运算法则计算，并逐项判断即可．
【详解】解：因为，所以A不正确，不符合题意；
因为，所以B不正确，不符合题意；
因为不是同类项，不能计算，所以C不正确，不符合题意；
因为，所以D正确，符合题意．
故选：D．
4. 以下列长度的各组线段为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
根据勾股定理的逆定理和直角三角形的性质，可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：，故选项A中的三条线段能组成直角三角形，符合题意；
，故选项B中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
，故选项C中的三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
，故选项D中的三条线段组成的是等边三角形，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义及平行线的性质，得出，，据此得出，，进而得出的周长为，据此可解决问题．
【详解】解：平分，
．
，
，
，
．
同理可得，，
，
的周长为．
与的周长分别、，
，
即．
故选：D．
6. 我们可以用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，即可解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
即射线是的平分线，
故选：D．
7. 在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. 只有①
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，

在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．
故选：B．
8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围．
【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，
则OA=3，AB=4，由勾股定理得：，
∴a=10-5=5；
当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6；
综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：x－x＝__________.
【答案】x(x-1)
【解析】
【分析】确定公因式是x，然后提取公因式即可．
【详解】解：x2-x=x（x-1）．
故答案为：x(x-1).
10. 计算的结果是______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，是相同的项，互为相反项是与，直接套用公式即可．
【详解】解：，
，
．
11. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水吨，现在这些水可多用4天，现在每天用水________吨．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，用水的质量除以用水的天数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，现在每天用水吨，
故答案为：．
12. 如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得，再代入计算即可．
【详解】如图所示，根据勾股定理，得，
∵，
∴．
故答案为：7．
13. 如图，用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为的圆中，则这根铁丝的长度为________．（，精确到）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的相关性质，正方形的性质，勾股定理， 先根据正方形的性质得到，，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到，据此利用勾股定理求出正方形的边长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形正方形，
∴，，
∴是正方形的外接圆的直径，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴这根铁丝的长度为，
故答案为：．
14. 下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在17.4~17.5之间，其中正确的是________（填序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，无理数的估算，根据即可判断①；根据无理数的估算方法先估算出的范围，再估算出的范围即可判断②；根据即可判断③；根据题意可得这四个数的算术平方根在17.4~17.5之间，据此可判断④．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为6，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴30976的平方根是，故③正确；
∵，
∴这四个数的算术平方根在17.4~17.5之间，故④正确；
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
15. 魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图中的四边形是一个正方形，则该正方形的边长为_____．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根，勾股定理等等：
（1）求出大正方体的棱长，进而求出求小正方体棱长即可；
（2）利用勾股定理求出边长即可；
【小问1详解】
解：，则小正方体的棱长为，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
【小问2详解】
解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
故答案为：。
16. 学习《利用三角形全等测距离》后，“数学实践活动”小组同学就“测量水潭两侧，两点间距离”这一问题，设计了如下方案：
测量方案：
（1）如图，在地面上找能够直接到达，两点的点，
（2）沿着向前走到点处，使得，
（3）沿着向前走到点处，使得，
（4）测出、两点之间的距离．
测试数据：米．
问题解决：“数学实践活动”小组同学根据测量方案得到米．你同意“数学实践活动”小组同学的结论吗？请说明理由．
【答案】同意，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．证明即可得米．
【详解】解，同意．理由如下：
在和中．
所以，
所以米．
因此水潭两侧，两点间距离就是线段的长12米．
17. 如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，
若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可．
【详解】解：根据题意可知，
设，则，根据勾股定理得
，
解得．
所以折断处离地面的高度是4尺．
19. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．在给定的网格中按要求用直尺画图：
（1）在图①中，画一条线段，使长度为，且点在格点上．
（2）在图②中，画一个，使的面积为，且点、在格点上．
（3）在图③中，画一个等腰，使的面积为，且点、在格点上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，割补法求三角形面积：
（1）利用勾股定理和网格的特点求解即可；
（2）画一个以点A为直角顶点，直角边的长为的等腰直角三角形即可；
（3）如解析图，取格点E、F，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
可证明是等腰直角三角形，且；
【小问3详解】
解：如图所示，即为所求
可证明．
20. 为进一步落实“双减”政策，全面推进素质教育，某中学构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术、体育和劳动五类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划了解初一年级学生对五类选修课程的选择情况．学校随机抽取m名学生进行了问卷调查，将他们选择五类选修课的数量情况进行统计．现将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问题：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） ； ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，“体育”类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（4）若该校初一年级有1200名学生，请你估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人数之和．
【答案】（1）60；30
（2）见解析 （3）
（4）大约有540人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口．
（1）由统计图可得，人文的频数为12，占调查人数的，根据频率=频数÷总数可求出m；根据频率=频数÷总数可求出科技所占的百分比，确定m的值；
（2）求出艺术的频数即可补全条形统计图；
（3）用乘以“体育”的人数所占比例即可求出答案；
（4）样本估计整体，求出样本中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而估计整体中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而求出答案．
【小问1详解】
解：本次随机抽取的学生人数（名），
，即．
故答案为：60；30；
【小问2详解】
解：艺术的频数为（人），补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：“体育”类所对应的扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
【小问4详解】
解：（人）．
答：估计该校初一年级选择“科技”和“劳动”两类选修课程的人数之和大约有540人．
21. 如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点重合），过点作直线交于点．在边上存在一点，当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题：
（1）若，则 ；
（2）若，则 ；
（3）连接，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）画图见解析，或或
【解析】
【分析】（）设交于，根据关于直线对称，可得，，又，，可得四边形是矩形，而，，知是等腰直角三角形，，求出，即得；
（）设交于，求出，又关于直线对称，可得，，而四边形是矩形，即可得；
（）分三种情况：①当时，可得，从而可求出；②当时，求出，可得；③当时，与重合，与重合，此时．
【小问1详解】
解：设交于，如图：
∵关于直线对称，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：设交于，如图：
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵关于直线对称，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：①当时，如图：
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图：
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
③当时，与重合，与重合，如图：
此时；
综上所述，的长为或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称的性质和等腰直角三角形的性质．
22. 【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点点不与点、重合，连结，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值．
【问题分析】小慧在解决此问题时，由联想到构造以为直角边的等腰直角三角形，便尝试着过点作的垂线，与相交于点图②，得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值．
【问题解决】（1）请根据小慧的想法，结合图②，证明；
（2）直接写出的值；
【问题提升】在图①中，连结，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；问题提升：
【解析】
【分析】问题解决：（1）过点作，与相交于点，，，可得是等腰直角三角形，有，，，从而，而，故，有，又，知，根据可得；
（2）求出，因，，故；
问题提升：设直线与直线交于，过作于，由（1）知，，知是等腰直角三角形，而为的中点，可得是的垂直平分线，有，从而是的平分线，，再证是等腰直角三角形，得，故，解得，．
【详解】问题解决：（1）证明：过点作，与相交于点，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（）知，是等腰直角三角形，
，，
；
问题提升：解：设直线与直线交于，过作于，如图：
由（1）知，
，
，
是等腰直角三角形，
为的中点，
，
是的垂直平分线，
，
，即是的平分线，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂直平分线的性质与判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题．
23. 综合实践课上老师展示了如下例题：
这种解决问题的方法叫特殊值法，即将题目中某个未知量取一个特殊值，通过运算，得出答案的一种方法．
（1）数学思考：例题中“■”处的值为________；
（2）方法运用：已知三次四项式有一个因式是，求的值；
（3）深入探究：已知关于的多项式分解因式得．
①求、的值；
②________．
【答案】（1）24 （2）
（3）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用：
（1）解方程可得出m的值；
（2）依照示例即可求出n的值；
（3）①由题意得，令，则，即；令，则，即，解方程组解求解；
②则由题意得，设，则得到，化简得到，使得等式恒成立，则，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
∴，
故答案为：24；
【小问2详解】
解：设，
令，则有：，
解得，；
【小问3详解】
解：①由题意得，
令，则，即；
令，则，即，
∴，
解得：；
②此时关于的多项式为，
则由题意得：，
设，
∴，
，
∴，
解得：，
经检验，符合题意，
∴，
故答案为：．
24. 在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P、C两点间的距离；
（2）当与的一边平行时，求t的值；
（3）当与的一边垂直时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，扫过的面积为 ．
【答案】（1）
（2）3或9 （3）6秒或15秒
（4）
【解析】
【分析】（1）根据线段的和差可得结论；
（2）分和两种情况讨论求解即可；
（3）分和两种情况讨论求解即可；
（4）根据边界点正确画出扫过的图形为，根据三角形的面积即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
则；
小问2详解】
解：当时，如图1，
∵是等边三角形，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴
∴（秒）；
当时，如图2，
则
而
∴
∴三点在一条直线上，
又点在上运动，
∴点与点重合，
∴
∴（秒）；
综上，当秒或9秒时，与的一边平行；
【小问3详解】
解：当时，如图3，
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∴（秒）；
当时，如图4，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴（秒），
综上，当秒或15秒时，与的一边垂直；
【小问4详解】
解：如图4，当点P与B重合时，点Q在的位置，当点Q在射线上时，点P在射线上，此时扫过的图形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
由（3）知：，，
∴，
，
∵，，，
∴，
∴．
即在整个运动过程中，扫过的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题几何变换的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，根据已知条件正确作图．17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
289
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
309.76
31329
316.84
320.41
324
化简：的结果为________．
例：已知多项式有一个因式是，求的值．
解：由题意，设（为整式），
∵当时，，
∴当时，，
则，解得■．