精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题+答案

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本试卷包括三道大题，共道24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 冬至过后进入数九，天气寒冷，很多人出现呼吸道支原体、衣原体感染．支原体和衣原体都是有细胞的微生物，支原体很小，直径在到微米；衣原体的原体直径在到微米．微米等于米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等运算法则分别计算，判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
3. 下列四个图象中，是的函数图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答．
根据函数的定义可以判断哪个选项中的图象不是与的函数图象，本题得以解决．
【详解】由函数的定义可知，选项D中的函数图象符合函数的定义，选项A、B、C中的图象，与不是一一对应的，不符合函数的定义，
故选：D．
4. 若反比例函数（）的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了利用待定系数法求出反比例函数的解析式．先利用待定系数法求出反比例函数比例系数k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
A、∵，
∴这个函数的图象一点经过；
B、∵，
∴这个函数的图象一点不经过；
C、∵，
∴这个函数的图象一点不经过；
D、∵，
∴这个函数的图象一点不经过；
故选A．
5. 已知点在第三象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．根据点在第三象限，得到，，即可得到点所在的象限．
【详解】解：点在第三象限内，
，，
，，
点所在的象限是：第四象限．
故选：D．
6. 如图，在菱形中，，以点为圆心，以长为半径画弧，交对角线于点，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，线段的垂直平分线的作图与性质，等腰三角形的性质，先求解，，再证明，从而可得答案．
【详解】解：∵菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
由作图可得：，，
∴，
∴；
故选C
7. 已知一次函数的图象不过第三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要熟练掌握，根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，据此求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
8. 将个面积都是的正方形按如图所示的方法摆放，点、……分别是各正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形中的规律，根据每个阴影面积是正方形面积的即，根据规律一共有n个，计算即可．
【详解】如图，设第一个正方形的一个顶点为Ｆ，两个正方形的边的交点分别为点Ｄ和点Ｅ，过点作于点Ｂ，作于点Ｃ，
∵是正方形的中心，且每个大正方形的面积都是2，
∴，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵两个正方形构成一个1阴影，3个正方形构成2个阴影，4个正方形构成3个阴影，
∴个正方形构成n个阴影，
∴它们的和为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解，提取公因式即可，熟练的确定公因式是解本题的关键.
【详解】解：，
故答案为：
10. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
11. 如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过函数图像判断两条函数的大小关系．根据函数图像，要使，则表示在上方的部分，读图可得答案．
【详解】解：∵
∴在函数图像上反映为在上方的部分
∴
故答案为：
12. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，已知，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，则是等腰三角形；已知，即可求出，由，可求出．本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相关性质求解是解题的关键．
【详解】∵四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴，，
∴是等腰三角形．
又∵，
∴．
在中，，，
∴，
．
解得．
故答案为：．
13. 对于非零实数、，规定，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴，
故答案：．
14. 如图所示，将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则的取值范围是________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标，难度不大．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为，
∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时，，
∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共78分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂,负整数指数幂的含义,化简绝对值,二次根式，二次根式的加减运算，熟记运算法则是解本题的关键，本题先计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，化简二次根式，再合并即可.
【详解】解：
.
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
17. 体育中考前小绳训练，小冰每分钟比小寒多跳21个，小冰跳135个所用的时间与小寒跳120个所用的时间相等．求小冰每分钟跳绳的个数．
【答案】个
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小冰每分钟跳绳的个．根据小冰跳135个所用的时间与小寒跳120个所用的时间相等再建立方程求解即可；熟练的确定相等关系是解本题的关键.
【详解】解：设小冰每分钟跳绳的个．
根据题意，得：
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：小冰每分钟跳绳的个．
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点A，点B均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．

（1）请在图①中，画出以为边的正方形；
（2）请在图②中，画出以为腰的等腰；
（3）请在图③中，画出以为底的等腰，且的面积为____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了网格上的作图与计算，熟练掌握勾股定理，分割法计算是解题的关键．
(1)根据，作图即可．
(2)根据两腰相等，作图即可．
(3)根据两腰相等，作图即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴画图如下：

则正方形即为所求．
【小问2详解】
解：根据等腰三角形的两腰相等，画图如下：

则等腰即为所求．
【小问3详解】
解：根据等腰三角形的两腰相等，画图如下：

则等腰即为所求．
，
故答案为：．
19. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于A，B两点，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC＝CA.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1) y＝；y＝－x＋6(2)
【解析】
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B（3，2）在反比例函数的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为，
∵B（3，2），
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF=AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=，
∴G（ ，1），
∵A（，4），
∴AG=4﹣1=3，
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=．
【点睛】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，三角形的中位线，解本题的关键是用待定系数法求出直线AB的解析式．
20. 如图，平行四边形的对角线、交于点，点、在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，，，若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟记平行四边形与菱形的判定方法是解本题的关键；
（1）利用平行四边形的性质证明，结合平行四边形的性质可得结论；
（2）先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质求解面积即可；
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形，
∴菱形的面积为．
21. 甲、乙两支队伍为冰雪大世界运送滑雪场用雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余任务．已知甲队每小时运送雪量保持不变，乙队每小时运送60吨雪，甲、乙两队运送雪的总量（吨）与运送雪的时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的运送雪的总量为___________吨；
（2）求此次运送雪的总量；
（3）求乙队调离后与之间的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是甲队每小时的清雪量．
（1）由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为300吨；
（2）先求出甲队每小时的清雪量，再求出．
（3）设乙队调离后与之间的函数关系式为：，把A，B两点代入求出函数关系式．
【小问1详解】
由函数图象可以看出乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为300吨；
故答案为：300．
【小问2详解】
乙队调离前，甲、乙两队每小时的清雪总量为吨，
∵乙队每小时清雪60吨，
∴甲队每小时的清雪量为：吨，
吨，
∴此次任务的清雪总量为420吨；
【小问3详解】
由（2）可知点的坐标为，
设乙队调离后与之间的函数关系式为
∵图象经过点，
，
，
∴乙队调离后与之间的函数关系式：
22. 在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若则称点为点的同伴点，例如：点的同伴点为．
（1）若点的同伴点在双曲线（）上，则的值为 ；
（2）已知点在直线上，点是点的同伴点，求的值；
（3）已知点在直线上，点的同伴点也在一条直线上，求点 所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的含义，利用待定系数法求解反比例函数解析式，一次函数的解析式，理解题意是解题的关键；
（1）利用新定义的含义先求解点的坐标为：，从而可得答案；
（2）利用一次函数的性质可得，再利用新定义的含义建立方程组求解即可；
（3）利用一次函数的性质可得，再利用新定义的含义建立方程组求解即可；
【小问1详解】
解：∵点的同伴点的坐标为：，
∴；
【小问2详解】
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵点是点的同伴点，
∴，
解得：；
【小问3详解】
∵点直线上，
∴，
∴，
∴点的同伴点的坐标为：，
∴，
∴，
∴；
23. 配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．
定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式： ；
（2）类似地，一个整式表示成（，是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．若可配成（m，n为常数），则的值为 ；
探究问题：已知是“完美式”，若，求的值．
【答案】（1）；（2）；【探究问题】
【解析】
【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）把29分为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值；
探究问题：已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值．
【详解】解：（1）根据题意得，
故答案为：；
（2）
，
∴，
∴，
故答案为：；
探究问题：
∵，
∴
∴
又∵，
∴，，
∴，
∴．
24. 如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）

（1）长为 ．
（2）用含的代数式表示线段的长．
（3）连结．是否存在值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时；
（3）连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
【小问2详解】
在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
【小问3详解】
存在，理由如下：
如图，连接，

若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与
【小问4详解】
当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．