重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一阶段考试月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一阶段考试月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了考试时间 120 分钟，试题总分 150 分，试卷页数 4 页， 已知集合 ，则， 已知函数 ，则， 下列命题为假命题的是等内容，欢迎下载使用。
考试说明：1.考试时间 120 分钟
2.试题总分 150 分
3.试卷页数 4 页
第一部分（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用补集和交集运算的定义求解.
【详解】由条件得 ，所以 .
故选：C．
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D. 不存在 ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用存在性命题的否定解答即可.
【详解】根据存在性命题的否定知，
命题 的否定是 .
故选：B
3. 不等式 的解集为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可.
【详解】不等式可化为 ，即 ，等价于 ，
解得 ，解集为 .
故选：B.
4. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得集合 A、B，根据交集运算的概念，即可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：B.
5. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可.
【详解】依题意， .
故选：B
6. 已知 在 上满足 ，则实数 的取值范围为
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（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数在各段上的单调性结合分段点的高低得关于参数的不等式，从而可求其范围.
【详解】根据题意，因为 在 上满足 ，
则 在 上单调递减，
而 ，
则有 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选：B．
7. 已知函数 ，若存在三个不相等的实数 ， ， 使得
，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先画出分段函数 图象，然后判断函数的单调性和最值，根据对称性推出 ，结合图象
可得到 的范围进而得解.
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【详解】函数 的图象如图所示：
由 的对称轴是 ，且 ，
当 时， 是增函数，
且 ，所以 ，
所以 ，又 ，故 ．
故选：A．
8. 已知函数 ，若存在两相异实数 使 ，且 ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意， 是方程 的两个不等实数根，利用根与系数的关系把 化为含有
的代数式，令 ，进一步转化为关于 的二次函数，再由配方法求最值.
【详解】由题意，当 ，
有 ，
，
是方程 的两个不等实数根，
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， ，
而 ，
，即 ，
，
令 ，则 ，
则当 时， 有最小值且为 .
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题为假命题的是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要不充分条件
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. “ ”是“ ”的充分条件
D. “ ”是“ ”的充要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的包含关系，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于 A，例如：集合 ，满足 ，但 ，即充分性不成立；
反之：若 ，此时满足 ，但 ，即必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，所以 A 错误；
对于 B，由 ，则 成立，即充分性成立；
反之：当 时， 不一定成立，即必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 B 正确；
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对于 C，当 时，若 ，则 ，所以充分性不成立；
反之：当 时，可得 ，所以必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 C 错误；
对于 D，由 ，
可得 ，
所以 ，即 ，所以充分性成立，
反之：若 ，则 ，
即 ，所以必要性成立，
所以“ ”是“ ”成立的充要条件，所以 D 正确.
故选：AC.
10. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A B.
C. 是单调函数 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，可判定 A 正确；令 ，求得 ，可判定 B 错误；
由 且 ，可判定 C 错误；令 ，结合 ，可判定 D 正确.
【详解】因为函数 的定义域为 ， ，
对于 A，令 ，可得 ，解得 ，所以 A 正确；
对于 B，令 ，可得 ，解得 ，所以 B 错误；
对于 C，因为 且 ，所以函数 不是单调函数，所以 C 错误；
对于 D，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 D 正确.
故选：AD.
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11. 设 ，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的范围为 D. 若 ，则 的最小值为 8
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用基本不等式，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
【详解】因为 ，
对于 A，由 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ，所以 A 正确；
对于 B，由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
又因为 ，即 ，所以 ，即上式等号不成立，
设 ，可得函数 在 为单调递减函数，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以 B 不正确；
对于 C，由 ，
当且仅当 且 时，即 时，等号成立，
所以 的取值范围为 ，所以 C 正确；
对于 D，由 ，
当且仅当 时，等号成立，
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则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，所以 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数 解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 有意义，则满足 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用 30 年的隔热层，据当年
的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是 9 万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物 30 年间每年的
能源消耗费用 （单位：万元）与隔热层的厚度 （单位：厘米）满足关系：
．经测算知道，如果不建造隔热层，那么 30 年间每年的能源消耗费用为 10 万元．设 为隔热层的建造
费用与 30 年间的能源消耗费用的总和，则 的最小值是______万元．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得 ，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因为不建造隔热层，那么 30 年间每年的能源消耗费用为 10 万元，
则 ，又由题可得
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.
当且仅当 ，即 时取等号.
故答案为：
14. 对于一个由整数组成的集合 中所有元素之和称为 的“小和数”， 的所有非空子集的“小和数”之
和称为 的“大和数”．已知集合 ，则 的“大和数”为______．
【答案】
【解析】
【分析】集合 中一共有 6 个元素，则一共有 个子集，对于集合 的任意一个子集 ，总能找到一个子
集 ，使得 ，再结合“大和数”的定义可得答案.
【详解】 一共有 6 个元素，全体元素之和为： .
对于集合 的任意一个子集 ，总能找到一个子集 ，使得 ，
又当 时， ，结合集合 有 个子集，则形如 与 这样的非空集合对有 对，
而相互对应的两个集合的元素和为 ，则 的“大和数”为：
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ， ．
（1）当 时， ， ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ； ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集，并集，补集定义可得答案；
（2）由题可得 ，据此可得答案.
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【小问 1 详解】
当 时， ，则 ，
或 ， .
【小问 2 详解】
因 ，则 ，则 .
16. 已知二次函数 满足 ， ．
（1）求 的解析式；
（2） ， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由待定系数法设 ，然后由题意可得答案；
（2）由题可得 ，据此可得答案.
【小问 1 详解】
设 ，因 ， ，
则 ，则 .
，则 ；
【小问 2 详解】
， 恒成立 .
，
当 时取等号，故 .
17. 已知函数 .
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（1）当 时，求不等式 的解集 ，
（2）设 的解集为 ，若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）本题可根据题意分为 、 、 三种情况进行讨论，然后通过计算即可得出结
果；
（2）本题首先可根据 得出当 时不等式 恒成立，然后将其转化为
在 上恒成立，最后通过计算即可得出结果.
详解】（1）当 时， ，即解不等式 ，
当 时， ，解得 ，此时 ；
当 时， ，不等式恒成立；
当 时， ，解得 ，此时 ，
综上所述，不等式 的解集 .
（2）因为 ，所以当 时，不等式 恒成立，
即 ， ，
故 ，即 在 上恒成立，
则 ，解得 ，故
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及含绝对值、参数的不等式有解问题，考查通过去绝对值的方式
求解绝对值不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想与分类讨论思想，属于中档
题.
18. 假设 克糖水中含有 克糖，若再添加 克糖（其中 ， ），生活常识告诉我们：添加的
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糖完全溶解后，糖水会更甜．
（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明；
（2）利用（1）提炼的不等式证明：若 为三角形的三边长，则 ；
（3）求证： ， 且 ．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得；
（2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证.
（3）先由结论得到 ，再利用乘法法则证明结论.
【小问 1 详解】
提炼出的不等式为 .
证明如下： .
因为 都是正数，且 ，
所以 ，可得 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）及 是三角形的三边，得 ，则 ，
同理 ，
所以 .
【小问 3 详解】
由（1）可知 .
取 ，则 ，故有 ，
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则有 ，
因为 ，
所以
，
故 ， 且 .
19. 已知函数 .
（1）证明： ，并求函数 的值域；
（2）已知 为非零实数，记函数 的最大值为 .
①求 ；②求满足 的所有实数 .
【答案】（1）证明见解析，函数 的值域为
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，再求出函数 的值域，从而可得出答案；
（2）①由（1）得 ，令 ，分 ， ， 和
四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案；
（2）求出 ，再分 ， ， ， ， 和 六种情况
讨论，从而可得出答案.
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【小问 1 详解】
解：由函数 ，
得 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
由函数 ，
得 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以函数 的值域为 ；
【小问 2 详解】
解：①由（1）得 ，
则 ，
令 ，
则 ，
对称轴为 ，
当 时，则 ，
所以 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
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综上所述， ；
②因为 ，
所以 ，
当 时， ，解得 （ 舍去），
当 时， ，解得 （舍去），
当 时， ，解得 （舍去），
当 时， ，
当 时， ，解得 （舍去），
当 时， ，解得 （舍去），
综上， 或 .
【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能
力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论.
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