重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共21页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，考试结束后， 将答题卡交回， 设 ，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后， 将答题卡交回.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，则 ，
解不等式 ，得 ，解得 ，则 ，
所以 .
故选：D
2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由复数的模长公式计算出 ，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
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所以 ，
所以 的虚部为 ，
故选：C.
3. 已知 A，B 为实数，则“ ”是“ 为双曲线方程”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在 轴或 轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案.
【详解】当 表示双曲线时， 均不为 0.
若双曲线的焦点在 轴上，则其标准方程为： ，此时， ,所以 ,所以
若双曲线的焦点在 轴上，则其标准方程为： ，此时， ,所以 ,所以
当 时，若 则 表示焦点在 轴上的双曲线，
若 则 表示焦点在 轴上的双曲线.
所以“ ”是“ 为双曲线方程”的充要条件．
故选：C.
4. 已知函数 ，若 为偶函数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】先得到 ，根据函数的奇偶性得到关于 的等式，结合 的范围即
可判断选项..
【详解】由 可得 ，
为偶函数，故 ，即 ，
又 ，故当 时， 满足要求，C 正确；其他选项均不正确.
故选：C
5. 若两条直线 与圆 的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为
4，则 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】圆心到两直线 的距离相等，由点到直线距离公式得到方程，求出 ，故 ，
分 和 两种情况，结合点到直线距离公式求出答案.
【详解】由题意直线 平行，且与圆的四个交点构成矩形 ，
故圆心到两直线 的距离相等， 的圆心为原点，半径为 ，
故 ，又 ，所以 ，故 ，
假设 ，设原点到直线 的距离为 ，
则 ，解得 ，故 ，解得 ，
所以
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假设 ，则原点到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，所以 ，
综上， 或 .
故选：D
6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为:若函数 在闭区间 上连续，在开区间
内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得 （ 是
在 处的导数值），其中 称为函数 在闭区间 上的中值点.现在有这样的问题:若函数
在区间 上的“中值点”个数为 ，函数 （其中 为自然对数的底数）在区间
上的“中值点”的个数为 ，则有 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用拉格朗日中值定理建立方程，再结合导数求出方程解的个数即可.
【详解】设函数 在区间 上的“中值点”为 ，求导得 ，
则 ，因此 ，而 ，则方程 有唯一解，即 ；
设函数 在 上的“中值点”为 ，求导得 ，
于 ，即 ，令函数 ，
求导得 ，函数 在 上单调递增， ，
因此函数 在 上有唯一零点，即方程 在 上有唯一解，则 ，
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所以 .
故选：B
7. 某学校随机将 16 名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为 1，2，3，..，16
，设数学小组里的学生最小学号为 ，最大学号为 ，物理小组里的学生最小学号为 ，最大学号为 ，则
“ ”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出将这 16 个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组 方法数，再假设 1 号参加数学
兴趣小组，推出学号为 1 到 5 的学生，11 号在数学兴趣小组，数学兴趣小组另外 2 个学生情况数为
，数学兴趣小组与物理兴趣小组互换，同样有 6 种情况，共有 12 种满足要求，从而计算出概率.
【详解】将这 16 个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组，共有 种方法，
假设 1 号参加数学兴趣小组，则数学兴趣小组中学生最大学号为 11，
故 16 号学生参加物理兴趣小组，则物理兴趣小组中学生的最小学号为 6，
从而学号为 1 到 5 的学生均参加数学兴趣小组，
学号为 7、8、9、10 的学生有任意 2 个参加数学兴趣小组，
满足要求的情况数为 ；
假设 1 号参加物理兴趣小组，同样有 6 种情况，
综上，共有 种，满足要求，所以“ ”的概率为 ，
故选： C.
8. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】构造 ， ，求导，得到单调性，求出 ，故 ，构造
， ，二次求导，得到单调性，求出 ， ，得到答案.
【详解】 ， ，设 ， ，
则 ，故 在 上单调递增，
又 ，故 ，所以 ， ；
， ，设 ， ，其中 ，
则 ， ，其中 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
即 ，所以 ， .
综上， .
故选：B
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有链错的得 0 分）
9. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列 为等差数列，且 ，则
B. 若数列 前 项和为 ，且 ，则 是等差数列.
C. 若数列 为等比数列， 为前 项和， ， ，则
D. 若数列 为等比数列，且 ，则
【答案】AC
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【解析】
【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断 A；先求出 ，再当 时求出 ，判断
当 时有 ，判断 B；根据等比数列的性质计算求值判断 C；由题意得 ， 可判断
D.
【详解】对于 A，由 ，正确；
对于 B，数列 的前 项和 ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，错误；
对于 C，因为数列 是等比数列，所以 ， ， 成等比数列，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，正确；
对于 D，由 ， ，则 ，所以 ，
若 时，由 ，可得 ，
所以 ，与已知条件矛盾，所以 ，错误.
故选：AC
10. 已知抛物线 ，点 、 、 为抛物线 上三点，且 的重心为抛物线 的焦
点 ，记直线 的斜率分别为 .若 ，则（ ）
A.
B. 的三个顶点到 轴的距离之和为 3
C. 若 点坐标为 ，则
D. 当点 的横坐标为 4 时，
【答案】ACD
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【解析】
【分析】A 选项，设 ，根据重心得到方程，求出 ，
，由焦半径公式和 得到方程，求出 ；B 选项，
，B 错误；C 选项，表达出 ， ， ，从而
；D 选项，求出 ，又 ，故 ，所以
，求出 ，故 ，且 ，根据弦长公式得到
，D 正确.
【详解】A 选项，设 ，显然 ， ， ，
的重心为 ，故 ， ，
故 ， ，
由焦半径公式可得 ， ， ，
故 ，
又 ，则 ，解得 或 0（舍去），A 正确；
B 选项， ，故 的三个顶点到 轴的距离之和为 6，B 错误；
C 选项，抛物线方程为 ，故 ，
故 ，同理可得 ， ，
所以 ，C 正确；
D 选项，因为 ，点 的横坐标为 4，所以 ，
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又 ，故 ，所以 ，
平方可得 ，故 ，
故 ，且 ，
所以 ，D 正确
故选：ACD
11. 已 知 不 是 直 角 三 角 形 ， 内 角 所 对 边 分 别 为
，则（ ）
A.
B. 的最大值为
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，利用三角恒等变换得到 ，再由正弦定理和余弦定理得到
，A 错误；B 选项，结合 得到 ，由基本不等式求出最值，
结合余弦函数单调性得到 ；C 选项，利用同角三角函数关系及 可变
形得到；D 选项，根据 和正弦定理，同角三角函数关系得 ，并计
算出 ，其中 ，故 ，D 正确.
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【详解】A 选项， ，
即 ，
，
，
，化简得 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
所以 ， ，A 错误；
B 选项， ，又 在 上单调递减，
所以 ， 的最大值为 ，B 正确；
C 选项， ，
因为 ，所以 ，代入上式可得
，C 正确；
D 选项， ，由正弦定理得 ，
即 ，即 ，
其中 ，
而 ，
所以
，
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不是直角三角形，故 ，故 ，D 正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 ， ，若 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标表示求出 ，再利用坐标求出向量的模.
【详解】向量 ， ，由 ，得 ，解得 ，
所以 ，故 ，所以 .
故答案为：
13. 已知 ， 且 ，则 的最小值为______
【答案】6
【解析】
【分析】先求出 ，利用基本不等式“1”的代换求出最小值.
【详解】 ，
又 ，故 ， ，
所以 ，
， ，故 ，
所以由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.
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故答案为：6
14. 设 为数列 的前 项和， ，则 ______
【答案】15
【解析】
【分析】利用 及给定递推公式变形，构造常数数列求出 ，再利用对数运算法则及等
差数列前 项和公式求解.
【详解】在数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，则 ，
因此数列 是常数列， ，则 ，
由 ，得 ，当 时， ，
令 ，则 ，
因此 ，所以 .
故答案为：15
四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在信号处理中，形如 （其中 是自然对数的底数）的函数称为“衰减多项式包络”，常用于
电磁波、声波在介质中的能量衰减模型以及神经元膜电位的发放后电位衰减等领域.某学习小组对 的
情况开展研究，请回答下列问题.
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）当 且 时， 恒成立，求正实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）把 代入，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
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（2）由给定不等式变形并构造函数 ，利用导数求出最大值，再建立不等式求解.
【小问 1 详解】
当 时，函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以函数 图象在 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
函数 ，当 且 时，不等式 恒成立，
令函数 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
依题意， ，解得 ，
所以正实数 的取值范围是 .
16. 把多项式 （其中 ）的展开式中 的一次项的系数记为 ，数列 的前 项
和记作 .
（1）写出数列 的前 2 项；并求其通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ， ， ．
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出 展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得 ，然后写出
数列 的前 2 项即可；
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（2）利用错位相减法即可求出 .
【小问 1 详解】
二项式 展开式的通项为 ，
分别令 可得 项分别为 ， ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的系数为 ．
所以 ， .
【小问 2 详解】
，
则 ，
，
两式相减得
，
则 .
17. 在 锐 角 中 ， 所 对 边 分 别 为 ， 满 足 且
.
（1）求 ；
（2）若点 为 的垂心， ， ，则求线段 的长度.
【答案】（1） ；
第 14页/共 20页
（2） .
【解析】
【分析】（1）先将 进行角化边，整理得到 ，再利用余弦定
理求出 的值，从而得到 ；
（2）由点 为 的垂心，连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，连接 并延
长交 于 ，由 得到 ，在 中，由 的长度和 的大小得
到 的长度，在 中，由 和 的长度得到 的长度，在 中，由 的大小
得到 的长度，从而得到 的长度.
【小问 1 详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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是锐角三角形，
.
【小问 2 详解】
点 为 的垂心，
连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，连接 并延长交 于 ，
， ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ，
.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，长轴长与短轴长之积为 8，椭圆的一条弦 的
中点为 ，满足: 在直线 上且 不为坐标原点，点 分别为椭圆 的左、右焦点.
（1）求 的方程；
（2）（i）记椭圆右顶点为 ，线段 上是否存在点 ，使得 ?若存在，请求 点横坐标
的范围；若不存在，请说明理由；
（ii）若点 均在 轴上方，且点 在点 上方，证明四边形 的面积小于 2.
【答案】（1） ；
（2）（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析.
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【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即可.
（2）（i）利用中点弦问题求出直线 的斜率，进而求出线段 中垂线方程，并求出与 轴交点的横坐
标即可判断得解；（ii）设出直线 的方程，与椭圆方程联立求出四边形面积关系，借助基本不等式求出
范围即可.
【小问 1 详解】
由椭圆 的离心率为 ，得 ，则 ，
由椭圆长轴长与短轴长之积为 8，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
（i）若存在 上的点 ，使得 ，则 ，
由题意，设 ，
由 ，得 ，
则 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，
即 ，令 ，则 ，
由 ，得 ，
因此 ， ，
第 17页/共 20页
当点 在线段 上时， ，又 ，
所以线段 上不存在点 ，使得 .
（ii）由（i）知 ， ，
直线 的方程 ，
由 消去 得 ，
由 ，得 ，
，由 在 轴上方，得 ，
因此 ，设直线 与 交于点 ，
所以四边形 的面积
.
19. 某珍稀植物保育点设有 4 个独立苗床.初始时，1 个苗床定植成功，3 个为空置.每季度，保育员随机巡查
1 个苗床（4 个等概率）:若该苗床为空置，则补种，成活概率为 50%；若该苗床已成功，则仅进行养护（状
态不变）.记第 季度后成功苗床数为随机变量 为 的期望.
（1）求 ；
（2）（i）对 ，请用 ， 和 这三个量表示 ；
第 18页/共 20页
（ii）证明点 在一条直线上，并求出该直线的方程.
【答案】（1） ；
（ 2）（ i） ；（ ii） 证 明 见 解 析 ，
.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
（2）（i）利用全概率公式求出表达式；（ii）利用数学期望公式，结合（i）的结论计算得证，进而求得直线
方程.
【小问 1 详解】
依题意， ，
，
由全概率公式：
.
【小问 2 详解】
（i） ，
所以
.
（ii）由（1）得， ，
，
由（i）得
第 19页/共 20页
，
故点 在直线 上．