重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一次月考试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一次月考试题含解析 (1)，共14页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 集合 ，集合 A 用列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解 ，即可.
【详解】由 ，
可得 ，
即 ，又
所以 ，
故选：C
2. 设集合 ，则 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 确定集合 ，解二次不等式确定集合 ,再由补集和交集运算即可求解.
【详解】 ，
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，
所以 ，
故选：B
3. 已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
合的非空真子集个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由阴影部分为 ，即可求解.
【详解】阴影部分为 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以阴影部分表示的集合的非空真子集个数为 2，
故选：A
4. 设 A＝{ | 是重庆市杨家坪中学高 2028 届走读男生}，B＝{ | 是重庆市杨家坪中学高 2028 届住读女
生}，C＝{ | 是重庆市杨家坪中学高 2028 届走读学生}，D＝{ | 是重庆市杨家坪中学高 2028 届女生}，
则下列一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合中元素，逐项判断即可.
【详解】由条件可知： ，A 错；
，B 错；
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{ | 是重庆市杨家坪中学高 2028 届走读女生}，C 错；
，D 正确，
故选：D
5. 若 ，则 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过作差法即可比较大小.
【详解】 ，
所以 ，当 时，取等号，
故选：B
6. 已知集合 ， ，则
的关系满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将集合 中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集
合之间的关系.
【详解】对于 ， ；
对于 ， ；
对于 ， .
因 ，则 ， 则表示偶数，故易得 .
故选：D.
7. 已知 ： ， ： ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】从集合的角度 是 的真子集，列出不等式即可求解.
【详解】由 ，所以 ，即 ，化为 ，
可得： ，
解得 ，
因为 是 的充分不必要条件，
当 ? ? < 1 时，不等式 ( ? ? − ? ? ) ( ? ? − 1 ) < 0 的解为 ,
所以 且 ，
即 ，
故选：C
8. 已知关于 的不等式 的解集中不含有整数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对实数 的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数列出不等式可得结果.
【详解】不等式 可分解为 ，
当 时，不等式解集 ，依题意可得 ，解得 ，
所以 ；
当 ，不等式为 ，此时解集为空集，符合题意；
当 时，不等式解集为 ，依题意可得 ，解得 ，
所以 ；
综上可得，实数 的取值范围为 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
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合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列关系式正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据元素与集合，集合之间的关系逐一检验即得.
【详解】对于 A， 是有理数，故 A 正确；
对于 B，因 不包含任何元素，则必有 ，故 B 正确；
对于 C，自然数集是整数集的子集，即 ，故 C 正确；
对于 D， 是元素，而 是正整数集，则应有 ，故 D 错误.
故选：ABC.
10. 已知 ， ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为 9
C. 的最小值为 D. 的最小值为 1
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A，直接利用基本不等式，和定积最大即可计算判断；对于 B，利用“1”的妙用和基本不等
式即可求解判断；对于 C，利用 B 项结论结合不等式性质即可判断；对于 D，通过常值代换后，根据基本
不等式求出其范围即可判断.
【详解】对于 A，因 ，由 可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 A 正确；
对于 B，由 ，
当且仅当 。即 时，等号成立，故 B 正确；
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对于 C，因 ，由 B 项已得，当且仅当 时， 取得最小值为 9，故此时 取
得最大值为 ，故 C 错误；
对于 D， ，当且仅当 时等号成立，
因 无解，故得 ，即 D 错误.
故选：AB.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为
B. 已知函数 定义域为 ，则 的定义域为
C. 已知 是一次函数，且 ,则
D. 已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，根据函数有意义，求解分式不等式即得；对于 B，利用抽象函数的定义域的求法即得；对
于 C，利用待定系数法即可求得函数解析式进行判断；对于 D，利用三个二次的关系，先由条件求出参数之
间的数量关系，代入所求不等式消参后求解一元二次不等式即得.
【详解】对于 A，函数 有意义，等价于 ，
解得 ，即函数的定义域为 ，故 A 错误；
对于 B，因函数 的定义域为 ，即 ，
要求 的定义域，需使 ，解得 ，
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即 的定义域为 ，故 B 正确；
对于 C，依题意，设 ，则 ，
即得 ，解得 ，故函数解析式为 ，故 C 正确；
对于 D，由题意，关于 x 的方程 有两根为 和 3，且 ，
则 ，即 ，
于是不等式 等价于 ，
因 ，则 ，解得 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若命题 ： ，则 为：______．
【答案】
【解析】
【分析】由存在量词命题否定的结构即可求解.
【详解】 ： ，
故答案为：
13. 已知函数 则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，依次从内到外计算相应函数值即可.
【详解】由 ，可得 ，
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则 .
故答案为： .
14. 设矩形 的周长为 ，把它沿对角线 对折后，设 交 于点 ，此时点
记为点 ，如图所示，设 ， ，则 的面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得 ，结合基本不等式得到关于 的一元
二次不等式并求解集，结合 的面积 即可得最大值，注意成立条件.
【详解】由题意 △ ，而 ， ，
所以 ，而矩形 的周长为 ，
则 ，整理得
，当且仅当 等号成立，
所以 ，
即
而 ，可得 ，
则 ，而 的面积 ，故最大值为 ，此时 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， .
（1）求 ；
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（2）若集合 ，且 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） ， 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 ，利用补集和并集的定义可求得集合
；
（2）分析可知 ，可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为集合 ， ，
所以 ，
或 ， 或 ，
故 或 .
【小问 2 详解】
因为集合 ， ，且 ，则 ，
所以 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
16. （1）已知 ，求 的取值范围．
（2）当 时，求 最大值；
（3）设 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）2；（3）
【解析】
【分析】（1）由不等式的性质即可求解；
（2）由基本不等式即可求解；
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（3）由 结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最大值是 2；
（3）因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值是 .
17. （1）已知函数 ，求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求 的值及函数 的解析式．
【答案】（1）9， ；（2）9，
【解析】
【分析】（1）由代入法即可求解；（2）由 ，即可求解.
【详解】（1）由解析式可得： ，
；
（2） ，
可得 ，
所以 .
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18. 设 ．
（1）当 时， ，使得 ，求实数 a 的取值范围；
（2）若对于 , 恒成立，求实数 m 的取值范围．
（3）解关于 x 的不等式 ．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题设条件可得 ，故只需利用二次函数的单调性求其最小值即可；
（2）通过等价转化，将题设不等式转化成 在 上恒成立问题，通过二次函数在给定区间
上的单调性可得 ，即得参数范围；
（3）将不等式整理后分解因式得到 ，根据实数 的取值进行分类，分别求解不等式即可
.
【小问 1 详解】
当 时， ，因 ，使得 ，则 ，
由 ，可得 ，
故实数 a 的取值范围是
【小问 2 详解】
由 可得 ，因 ，故可得 ，
依题意，对于 ， 恒成立，即 恒成立，
因函数 在 上单调递增，则 ， ，故可得
.
即实数 m 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
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由 等价于 ，即 （*）
① 当 时，（*）等价于 .
若 ，则 ，不等式的解为 或 ；
若 ，不等式化为 ，不等式的解为 ；
若 ，则 ，不等式的解为 或 ；
② 当 时，不等式化为 ，不等式的解为 ；
③ 当 时，（*）等价于 ，不等式的解为 .
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19. 问：已知 a 和 b 均为正实数，满足 a＋b＝1，求 的最小值．其中一种解法是：
当且仅当 ，且 a＋b＝1 时，即 且
时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数 x，y 满足 ，求 的最小值；
（2）若正实数 ， ， ， 满足 ，且 ，试比较 和 的大小，并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求代数式 的最小值，并求出使得 取得最小值时 的值.
【答案】（1）9 （2） ，理由见解析
（3）当 时， 取得最小值
【解析】
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【分析】（1）由题可知 ，进而利用基本不等式中 1 的妙用求解即可；
（2）由 ，结合基本不等式求解判断即可；
（3）令 ，则 ，利用（2）的结论求解即可．
【小问 1 详解】
若正实数 ， 满足 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 最小值是 9．
【小问 2 详解】
正实数 ， ， ， 满足 ，且 ，
∴ ，
又 ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
【小问 3 详解】
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由（2）的结论可知，若正实数 ， ， ， 满足 ，且 ，
则 ，当且仅当 时等号成立
要使 有意义，需满足 且 ，解得 ，
则 ，即 ，
所以 .
令 ，所以 ，即 ，此时 ，
所以，由 可得
，即 ，
∵ ，∴ ，
当且仅当 时等号成立.
由 ，得 ，
所以当 时， 取得最小值 .