重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析 (1)，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．， 已知 ，且 ，则 的最小值是， 下列命题中，正确的有， 下列叙述中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置．
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的．
1. 值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则计算得解.
【详解】 .
故选：B
2. 已知集合 ，则 子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，结合子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合 ，可得 ，
所以集合 的子集的个数为 .
故选：B.
3. 函数 的定义域为（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分母不为零，偶次根式被开方数大于等于零求解.
【详解】 ， 且 ， 的定义域为 .
故选：D.
4. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取特殊值判断 ABD，作差法判断 C．
【详解】对于 A，因为 ，所以 ，当 时， ，故 A 错误；
对于 B，取 ， ，
此时 ，故 B 错误；
对于 C， ，
因为 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D，取 ， ，此时 ，故 D 错误；
故选：C．
5. “ ”是“函数 的定义域为 ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】B
【解析】
【分析】先由“函数 的定义域为 ”求对应的 的范围，再根据充分条件、必要
条件的概念判断结论.
【详解】由 的定义域为 ，得 .
当 时， 恒成立；
当 时，由 ，解得 .
所以当函数 的定义域为 时， 的取值范围为 ，
因为由 可推出 ，但 不能推出 ，
所以“ ”是“函数 的定义域为 ”的充分不必要条件.
故选：B.
6. 已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质，借助媒介数比较大小.
【详解】 ， ， ，
所以 的大小关系为 .
故选：C
7. 已知 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】将条件 代入原式，得到关于 的表达式 ，再通过配凑项法将其转化为可使
用基本不等式的形式求解.
【详解】因为 ， ，
则
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值是 .
故选:D.
8. 某数学兴趣小组对函数 进行研究，得出如下结论，其中错误的是（ ）
A.
B. ，
C. 的值域为
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的函数解析式，结合函数单调性及作差法比较大小，逐项计算判断即可.
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，则 ，都有 ，故 B 错误；
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对于 C，由选项 B 知，当 时， ，当 时， ，
即 ， ，因此函数 的值域为 ，故 C 正确；
对于 D，当 时， ， ， ，
，当且仅当
时取等号，
因此 成立，故 D 正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数 与函数 表示同一个函数
B. 函数 的值域为
C. 函数 的图象与直线 最多有一个交点
D. 已知 ，对应关系 可以构成 关于 的函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。
【详解】对于选项 A，因为函数 的定义域是 ，函数 的定义域是 ，所以两函数的
定义域不同，不是同一函数，故选项 A 错误;
对于选项 B，因为函数 ,所以 ,则 ,故选项 B 正确;
对于选项 C，根据函数的定义，对于定义域内的一个 值，有且只有一个 值与之对应，此时函数图象与直
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线最多有一个交点，因此若 在定义域内，则有唯一的 值与之对应，此时函数图象与直线 有唯
一交点；若 不在定义域内，则没有交点，因此函数 的图象与直线 最多有一个交点，故
选项 C 正确;
对于选项 D，因为任意 ，所以 ，满足 ，且每个 对应唯一的 ，符合函数
的定义，因此可以构成 关于 的函数，故选项 D 正确;
故选:BCD
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 已知关于 x 的不等式 的解集为 ，则
B. 不等式 的解集是
C. 不等式 的解集是
D. 不等式 的解集是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解以及其性质可判断 A 和 C 选项，根据分式不等式的解法可判断 B 选项，
利用绝对值不等式的解法可判断 D 选项.
【详解】选项 A：若不等式 的解集为 ，说明二次函数 开
口向上，故 ，故 A 正确；
选项 B：不等式 等价于 且 ，解得 ，而选项 B 包含 （分
母为 0，无意义），故 B 错误；
选项 C：解不等式 ，令 ，得 或 ；
因二次项系数 ，二次函数 开口向上，
故解集为两根之间的区间 ，故 C 正确；
选项 D：不等式 等价于 或 ，
解得 或 ，解集为 ，D 正确.
故选：ACD.
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11. 给定函数 ，若 ，用 表示 ， 中的较小者，
记为函数 ，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数 的单调递减区间为
C. 方程 有两个根，则
D. 若存在常数 ，使得 成立，那么 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】求出 的解析式并作出图象，代入求值可判断 A；利用图象可判断 B 和 C；分 和
两种情况求出 的范围可判断 D.
【详解】当 时， ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，即 ，
所以当 时， ；
当 时， ，则 ，
令 ，解得 或 ，即 ，
令 ，解得 ，即 ，
所以当 或 时， ；当 时， ；
综上， ，作出 的图象如下图：
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对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，由图知，函数 的单调递减区间为 ，故 B 正确；
对于 C，方程 有两个根，即 有两个根，
所以 和 的图象有两个交点，
由图知，当 时， 和 的图象没有交点；
当 时， 和 图象有两个交点；
当 时， 和 的图象有四个交点；
当 时， 和 的图象有三个交点；
当 时， 和 的图象有两个交点，
所以当 或 时，方程 有两个根，即 ，故 C 错误；
对于 D， 当 时， ，由 得， ，
即 ，解得 或 （舍），
当 时， ，由 得， ，
即 ，所以 ，即当 时， 恒成立，
综上 或 ，所以 的最小值为 ，故 D 错误.
故选：AB.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知命题 为真命题，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】条件可转化为 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为命题 为真命题，
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所以 ，故 小于 的最大值，且 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13. 若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 =__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求解即可.
【详解】因为 是定义在 上 奇函数，
所以 .
故答案为： .
14. 已知 的定义域为 ，满足 ，若 ，则
__________.
【答案】2028
【解析】
【分析】推导函数的奇偶性、对称性与周期性，利用 进行转换求解即可.
【详解】由 ，得 是奇函数，即 ，且 ，
由 ，令 ，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，
， ，因此 的
周期为 8，
因为 ，所以 ，
，
，
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，
综上
故答案为：2028
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合集合并集和补集的定义与运算，即可求解；
（2）由 ，分 和 ，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【小问 1 详解】
解：由集合 ，
可得 ，且 或 ，
所以 .
【小问 2 详解】
解：由集合 ，且 ，
当 时，则满足 ，解得 ，此时满足 ；
当 时，则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
16. 已知函数 ， ．
（1）求不等式 的解集；
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（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过因式分解将不等式化为 ，对 进行分类讨论结合一元二次不等式的解
法即可求出答案；
（2）由题意可知 是不等式 解集的真子集，根据（1）的答案结合真子集的概念即可求得
答案.
【小问 1 详解】
由题意不等式 可化为 ，即 ，
令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 ，
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解
集为 .
【小问 2 详解】
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 是不等式 解集的真子集，
当 时，不等式 的解集为 ，
所以 且两式等号不能同时成立，解得 ，
当 时，不等式 的解集为 ，不符合题意，
当 时，不等式 的解集为 ，
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所以 且两式等号不能同时成立，解得 ，
综上， 的取值范围为 .
17. 已知幂函数 满足 ， 为实数．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的值域；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数是幂函数列式计算得出 或 ，再结合 计算求参；
（2）结合二次函数值域计算求解；
（3）应用幂函数单调性及函数定义域列不等式计算求解.
【小问 1 详解】
由函数 为幂函数，得 ，解得 或 ，
当 时， ， ， ，满足 ；
当 时， ， ， ，不满足 ．
所以 ．
【小问 2 详解】
，
因为 ，所以 ，得 ，
故函数 的值域为 ．
【小问 3 详解】
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由 得 ，
所以 解得 ．
所以实数 的取值范围为 ．
18. 19 世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配
凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进
一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），
直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）.
例如：1.求函数 的最小值.可作如下处理：
，当且仅当 时，等号成立.
2.已知 为正实数，且 ，求 的最大值.可作如下处理：
，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立.
根据以上信息解决以下问题：
已知 .
（1）若 ，证明： .
（2）若 恒成立，求参数 的取值范围.
（3）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
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【解析】
【分析】（1）由题干条件变形可得 ,再利用基本不等式即可证明；
（2）逆用基本不等式可得 ,从而得到 ,解之可得参数 的取值范围；
（3）观察题干条件和所求式子，发现 可配凑出完全平方式，
利用平方非负可求得 的最小值.
【小问 1 详解】
由题意可得 ,所以 ,
当且仅当 即 时等号成立；
【小问 2 详解】
因为 ，根据基本不等式 ,当且仅当 时
等号成立，
若 恒成立，则 恒成立，因为 ,
得到 ,解得 或 ,
故参数 的取值范围为 ;
【小问 3 详解】
题干条件可变形为 ,而
,
注意到 ,
当且仅当 时等号成立，故 ,所以 ,
即 的最小值为 .
19. 若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使 成立，
则称该函数为“关联函数”.
（1）判断函数 是否为“关联函数”，说明理由；
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（2）若函数 在定义域 （ ， 且 ）上为“关联函数”，求 的
值；
（3）设函数 ， 是区间 上的“关联函数”.若存在实数 ，使得不等式
对任意 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）是，理由见详解 （2）13
（3）
【解析】
【分析】2（1）根据题意直接验证；
（2）利用二次函数的性质，结合题意求解；
（3）首先由题意可得在区间 上 ，得到 的取值范围，然后根据题意求得各种情况下 的值
和对应的 的最大值，进一步求得在所有可能情况下的 的最大值，进而利用二次函数的性质得
到 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题意得 得定义域和值域都是 ，记 .
对于定义域内的每一个值 ，设 ，则 ，
则 总有唯一 实数解 ，所以该函数是关联函数.
【小问 2 详解】
函数 的图象为开口向上的抛物线，
对称轴为 ，由于已知 ，
所以在区间 上是单调递增函数，
由已知可得 ，
所以在定义域 上 ，
， ， , ，
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为使 在其定义域内都存在唯一的 ，
则必须且只需
即 ，得 ，
即 ，所以 ，
可得 ，所以 .
【小问 3 详解】
由题意得在区间 上 ，否则取 为 在 上的零点，
则 ，则 无解.
， ，所以 或 或 ，
所以 或 或 ，
①当 时 在 上单调递增且值域为 ，
参照（2）得解析过程可得 ，
即 ，解得 ，结合 得 ，
得 .
②当 时 在 上单调递减且值域为 ，
同上道理，可得 ， ，
解得 (另一根舍去）.得 .
③当 时 在 上单调递减，在 上单调递增，
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且 ， ，
记 ，则必须且只需
， ， ，
得到 ，解得 ，但此时 不合题意.
综上， 的最大值为 ，
所以 对于任意 都成立，
即 ，
故实数 的取值范围 .