重庆市2024_2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份重庆市2024_2025学年高一数学上学期第一次月考试题含解析，共14页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上．
一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
3. 设函数，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
4. 已知，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据换元法，设，得，代入即可求解．
【详解】设，则，
所以，
所以，
故选：D．
5. 若，则下列命题正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案.
【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；
选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；
选项C，当时，，故选项C错误；
选项D，可知，，故选项D正确.
故选：D
6. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据题意化简：命题“，”为真命题；为，然后利用充分性和必要性的判断方式来判断即可.
【详解】若命题“，”为真命题，
则当时，恒成立，
即，
故该题可以转变为“”的一个必要不充分条件，
由必要不充分条件的判断可知，
“”的一个必要不充分条件是“”
所以AD符合题意.
故选：AD
7. 设集合，或x>5，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.
【详解】因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或x>5，则由得：，解得：，
综上得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
8. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ）
A. 15B. 19C. 21D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】令，结合二次函数的图象以及题意得到和，再根据，即可求解.
【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得：，解得：，
解集中有且仅有5个整数，则这5个整数必为，
结合二次函数的对称性可得：，即，
解得：，
又，，
即符合题意的的值之和.
故选：A.
二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 已知，则的最小值为
C. 存在实数x，使得
D. 满足的集合A的个数为8
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数单调性求出最小值判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；求出函数的值域判断C；求出子集个数判断D.
【详解】对于A，令，函数在上单调递增，
当，即时，，A错误；
对于B，当时，，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，对于任意实数，，当且仅当时取等号，
因此，C错误；
对于D，由，知集合可视为集合与集合
的每个子集的并集，而集合的子集有个，因此集合A的个数为8，D正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 与表示同一个函数
B. 函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若不等式，，则的取值范围是
D. 函数的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相同函数的定义判断A；求出抽象函数的定义域判断B；利用不等式性质求出范围判断C；借助二次函数求出值域判断D.
【详解】对于A，函数与的定义域都为，且，A正确；
对于B，由函数的定义域为，得，则函数中，
，解得，即的定义域为，B正确；
对于C，由，得，而，则，C错误；
对于D，，函数，
当且仅当，即时取等号，因此函数的值域为，D正确.
故选：ABD.
11. 已知a，b为正实数，且，则（ ）
A. ab的最大值为8B. 的最小值为8
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
则，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC
三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，，且，则集合__________．
【答案】或.
【解析】
【分析】根据可求，代入检验后可得集合.
【详解】因为，故，故，
当时，；
当时，；
故答案为：或.
13. 用表示，两个数中的最小值，设，则的最大值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据定义求出分段函数的解析式，再结合分段函数求最大值即可.
【详解】在坐标系内画出函数的图象，
，解得，
如图，
由图象知，，
∴的最大值为；
故答案：6．
14. 函数，，若，使成立，则的取值范围是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数以及二次函数单调性分别求得两函数值域，再根据题意得出两值域的包含关系即可得出的取值范围.
【详解】由以及可得；
再由以及可得；
若，使成立可得，
即，解得；
又，因此的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本大题共5道小题，第15题13分，第16、17题15分，其余每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
（1）写出的值域；
（2）写出不等式的解集；
（3）求的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象可得函数的值域；
（2）根据函数图象可得不等式的解集；
（3）利用待定系数法可求的解析式．
【小问1详解】
结合图象可得函数值域为.
【小问2详解】
结合图象可得不等式的解集为.
【小问3详解】
当时，设，则即，
此时，
当时，设，而，
故，故此时，
故.
16. 已知集合.
（1）求；
（2）若满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求A，M，利用补集与并集的概念计算即可；
（2）分类讨论B是否为空集，结合集合的基本关系计算即可.
【小问1详解】
由，解得，即，
由，
解得，即，则，
则；
【小问2详解】
由可知，
若，即时，符合题意；
若，则要满足题意需，解之得；
综上所述实数的取值范围为.
17. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）．
（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．
【答案】（1）当时，甲工程队的报价最低
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解；
（2）由（1）可知，转化为不等式恒成立，参变分离后，转化为求最值的问题.
【小问1详解】
设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（），
则屋子前面新建墙体长为，
则
即，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；
【小问2详解】
由题意可知，当对任意的恒成立，
即，所以，即，
，
当，，即时，的最小值为12，
即，
所以的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的表达式；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可；
（2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式解法求解即可．
【小问1详解】
∵的解集为，
∴1，2是方程的根且，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
当时，，∵，∴，∴；
当时，，即，即，
当时，，∴或；
当时，，
（ⅰ）当时，无解；
（ⅱ）当时，；
（ⅲ）当时，；
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
19. 设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中的另外两个元素；
（2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；
（3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合．
【答案】（1）另外两个元素为，2；（2）正确，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）结合定义计算出中的另外两个元素.
（2）结合定义判断出至少有三个元素.
（3）由（2）设出中元素的表达式，结合条件求得中元素.
【详解】（1），
所以另外两个元素为.
（2）该命题正确，证明如下：
设，则，则，
均无解，
所以“中至少有三个元素”正确.
（3）由（2）知，若，那么、.
若中的元素不超过个，那么，且.
所有元素的乘积为，不妨设，
所以中有三个元素，
所以，解得或或
所以.