重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期第一次月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每题给出的四个选项，只有一项符合题
目要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的运算求解即可
【详解】因集合 ，
则 .
故选：C.
2. 命题 ， 的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定为存在量词命题，即可得答案.
【详解】命题 ， 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以其否定为： ， .
故选：A
3. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式，即可求得答案.
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【详解】由题意知 ，则 ，
当且仅当 ，结合 ，即得 时取等号，
故 的最小值为 4，
故选：A
4. “ ” 是 “ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断.
【详解】因为 ，所以 ，
反之 满足 ，但是不满足 ，
所以“ ” 是 “ ”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，得 ，进而根据集合的包含关系列式求解即可.
【详解】由 ，得 ，
根据集合中元素的互异性可得 ，所以 或 ，解得 .
此时 ，满足题意.
故选：C
6. 对于任意 ， 都有意义，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可.
【详解】易知 恒成立，
显然当 时，符合题意；
当 时，要满足题意需 ，即 ，
综上 .
故选：C
7. 已知 ， 一元二次方程 有一个正根，一个负根，则 p 是 q 的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】因 一元二次方程 有一个正根，一个负根，
所以 ，
因此由 一定能推出 ，由 不一定能推出 ，
所以 p 是 q 的充分不必要条件，
故选：A
8. 已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件得出 ，将代数式 与 相乘，展开
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后利用基本不等式求出 的最小值即可得.
【详解】因为 ， ，且 ，则 ，
又 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 最小值为 ，
因为 恒成立，所以 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
二、多选题：本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 十六世纪中叶，英国数学家雷可德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥
特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.则下列与不等式
有关的命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据作差比较法，结合特例法、不等式的性质逐一判断即可.
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【详解】A：当 时，显然满足 ， ，但是 ，因此本选项命题不正确；
B：由 可得 ，因此有 ，因此本选项命题正确；
C： ，
因为 ， ，
所以 ，因此本选项命题正确；
D：由 ，而 ，所以有 ，因此本选项命题正确，
故选：BCD
10. 已知命题 ，使得 .则命题 为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对 进行讨论，求解 为真命题的充要条件是 ，即可根据充分不必要条件的定义求解.
【详解】当 时，显然 ，使得 ；
当 时， ， .
综上，命题 为真命题的充要条件是 ，
故选： .
11. 设正实数 满足 ，则（ ）
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 5 D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断 AB，由 ，利用基本不等式即可判断 C，利用
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(当且仅当 时，等号成立)，即可判断 D.
【详解】对于 A：由 ，当且仅当 时，等号成立，故 A 错误；
对于 B：由 ，当且仅当 时，等号成立，故 B 正确；
对于 C：由 ，又
，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，故 C 正确；
对于 D：由 ，所以
，
当且仅当 时，所以等号不成立，故 D 错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】解法一：将分式不等式转化为整式不等式，即可得解；
方法二：根据 和 的符号法分类讨论求解即可.
【详解】解法一：因为 ，所以 ，解得 .
所以不等式 的解集为 .
解法二：因为 ，所以 或 .
解得 或 .
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所以不等式 的解集为 .
故答案为： .
13. 已知 ，求 的取值范围______________.
【答案】
【解析】
【分析】先将 表示成关于 与 的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设 ，则 ，
解得 ，则 ，
因 ，
则 ，
故 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知 均为正实数，若 ，则 的最小值为_____.
【答案】25
【解析】
分 析 】 由 代 入 消 去 ， 整 理 得 ， 设 ， 则 得
，利用基本不等式即可求得.
【详解】由 可得 ，代入 中，可得 ，
设 ，则 ，
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于是 ，
因 ，当且仅当 时，等号成立，
即 时， 取得最小值 25.
故答案为：25.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利
用基本不等式求其最值.
四、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 或 ，全集 .
（1）求 ， ；
（2）求 ，
【答案】（1） ， 或 ；
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）利用交集和并集的概念计算即可；
（2）利用补集与并集的概念计算即可.
【小问 1 详解】
因为 或 ，
所以 ，
或 ；
【小问 2 详解】
由题意可知 ，又 ，
所以 .
16. 已知集合 .
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（1）若 只有一个元素，试求实数 的值，并用列举法表示集合 ；
（2）若 有且只有四个子集，试求实数 的取值范围.
【答案】（1） 时， ； 时， .
（2） 且 .
【解析】
【分析】（1）考虑 和 且 两种情况.
（2） 有且只有四个子集，则方程有两个根，即 且 .
【小问 1 详解】
时 ，解得 符合题意；
时令 解得 ，
此时 ， 解得 符合题意，
故 时， ； 时， .
【小问 2 详解】
若 有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即 且 ，
即 解得 且 .
综上 且 .
17. 如图，某学校为庆祝 70 周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的
矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 的十字形地域.计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为 2900
元 ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为 350 元 ；再在四个空角（图中
四个三角形）上铺草坪，造价为 80 元 .设总造价为 （单位：元），AD 长为 （单位： ）.
（1）当 时，求草坪面积；
（2）当 为何值时， 最小?并求出这个最小值.
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【答案】（1）
（2）故 m 时， 最小，最小值为 65000 元.
【解析】
【分析】（1）求出等腰直角三角形的直角边长为 m，得到草坪面积；
（2）表达出 ，利用基本不等式求出最小值及 m.
【小问 1 详解】
四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为 ，
当 时， m，故草坪面积为 ；
【小问 2 详解】
花坛的造价为 元，四个相同的矩形总造价为 元，
四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为 ，
故草坪的总造价为 元，
故
元，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 时， 最小，最小值为 65000 元.
18. 已知函数
（1）若 ，求关于 的不等式 的解集.
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（2）关于 的不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
（3）已知 ，当 时， ，求 的最小值.
【答案】（1） 或
（2）
（3）36.
【解析】
【分析】（1）将 代入，解一元二次不等式 即可；
（2）由题意可得 ，且 和 是一元二次方程 的两个根，结合韦达定理可得
，代入求解即可；
（3）由题意可得 ， ， ，化简得 ，利用
基本不等式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
关于 的不等式 ，
即为 ，即 ，
故该不等式的解集是 或 ；
【小问 2 详解】
因为关于 的不等式 的解集为 ，
故 ，且 和 是一元二次方程 的两个根，
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所以 ，即 ，
所以不等式 可转化为 ，
又 ，
所以 ，即 ，
故不等式的解集为 ；
【小问 3 详解】
因为当 时， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
所以
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，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 36.
19. 法国数学家佛郎索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对
于一元二次方程 ，它的两根 、 有如下关系： ．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： ，那么这两个
数 和 是方程 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关
系构造一元二次方程
例如： ，那么 和 是方程 的两根．请应用上述材料解决以下问题：
（1）已知 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，求 的值；
（2）已知实数 、 满足 ， ，求 的值；
（3）已知 ， 是二次函数 的两个零点，且 ，求使 的值为整数
的所有 的值．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两个等式特征，可将 可看作方程 的两个异实数根，由韦达定理即可
求出所求式的值；
（2）由题设等式，可将 可看作方程 的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解
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即得；
（3）由题意，使 ，求得 ，利用韦达定理求得 ，将所求式整理化简得
，结合题设条件，即可求得 的所有取值.
【小问 1 详解】
由 ， ， ，
可将 可看作方程 的两个不相等的实数根，
由韦达定理， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由 ， ，
可将 可看作方程 的两个实数根，
由 解得 或 ，
则有 或 ，
① 当 时， ；
② 当 时， ．
所以 的值为 22 或 37．
【小问 3 详解】
由题意和韦达定理，可得 ， ，
且 ，解得 ，
故
因 ，又 ，故 必为 的因数，
则 值可能为 ，
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则实数 k 的值可能为 ，又 ，
故 k 的所有取值为 ．
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