重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了 函数的零点所在的大致区间为， 若，，，，则下列结论正确的是， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由根据诱导公式可得答案.
【详解】
故选：A
2. “关于的不等式的解集为”，是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式解集为的条件，求出命题p中a的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义，判断p与q之间的关系即可.
【详解】因为 的解集为，
则，解得，
即命题对应的范围是，
若成立（），则一定满足（），故是的充分条件；
若成立（），
例如取，此时的判别式，解集不是，
故不能推出，即不是的必要条件，
综上，是的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知一扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解.
【详解】因为扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为，
所以扇形的面积为.
故选：C.
4. 函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再结合零点来分析.
【详解】函数的定义域为，且，
因此是奇函数，其图像关于原点对称，故选项A、B不符合题意；
令，则,
因为，所以或，解得或.
因此，函数有三个零点，C选项正确.
故选：C.
5. 函数的零点所在的大致区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出各个区间端点的符号，再利用零点存在性定理即可求解．
【详解】因为当接近于1时，趋向于，
，
，
，
，
所以零点所在的大致区间为，
故选：B．
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小.
【详解】因为在R上单调递增，所以，，
又在R上单调递减，所以，
而在上单调递增，所以，所以，即，
所以.
故选：A.
7. 若函数的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，问题转化为函数的值域包含所有正数，分和讨论求解.
【详解】由函数的值域为R，得的值域包含所有正数，
当时，得符合题意；
当时，则，解得；
综上，.
故选：D.
8. 设函数，其中，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 5C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】若恒成立，则与有相同的单调性及相同的零点，即，，.利用基本不等式常数代换即可求解.
【详解】因为，若恒成立，
则与有相同的单调性及相同的零点，
即，，.
则，
因，，所以，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
所以 .
则的最小值为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. A的真子集个数为7
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.
【详解】，
由，，，
作出图，如图所示，

由图可知，，，故A错误，正确；
集合的真子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ，都有
B. 的值域为
C. ，且，都有
D. 方程有3个不等实数根
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，结合函数的解析式，以及函数与方程的零点问题，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A，因，，故A正确；
对于B，当时，，所以，
由A知为奇函数，故的值域为，故B错误；
对于C，对，且，不妨设，
则，
，，，即，
所以在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，当时，，则为，解得，
当时，方程成立，
又为奇函数，根据对称性知也满足方程，
综上，方程有3个不等的实数根，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，若关于x的方程有4个不等的实数根，分别记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 函数有8个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】先作出函数的图象，对于A，观察函数的图象与何时有个交点即可；对于B，通过求解即可；对于C，由韦达定理可知，由图象可得，进而得，最后结合的范围求解即可；对于D，令，求出的根，代入，继续根据图象求根的个数即可.
【详解】在平面直角坐标系中，作出函数的图象.
关于x的方程有4个不等的实数根，等价于函数的图象与有个交点.
对于A：由图可知，当时，函数的图象与有个交点，故A正确；
对于B：由图可知，，即，得，
解得，故B正确；
对于C：由图可知，是的两个解，因此，由韦达定理可得.
，得，
因此有，得.
因此，故C错误；
对于D：设，则，即，
当时，，解得或；
当时，，得或，解得或.
当时，由图可知，无解；
当时，由图可知，有2个解；
当时，由图可知，有3个解；
当时，由图可知，有3个解.
综上所述，函数有个零点，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.
12. 已知角的终边过点，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式化简，结合三角函数定义求解.
【详解】由题，，所以，
.
故答案：.
13. 已知，，则用a、b表示对数_______.
【答案】
【解析】
【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解即可．
【详解】，
故答案为：.
14. 若定义在上的函数满足，且为偶函数.当时，，其中，则________；方程在区间上的所有实数解之和为4，请写出一个符合条件的正整数a的值________.
【答案】 ①. ②. （写出其中任何一个即可）
【解析】
【分析】根据题意可得的周期为4，进而得，运算得；方程可变形为，令，可得的图象都关于点对称，问题等价于函数与的图象在区间有两个交点，数形结合求解.
【详解】由，可知的图象关于点对称，又是偶函数，所以，
所以，则，可得，
所以的周期为4，则，
令代入，得，又，
.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
又的图象关于点对称，关于直线对称，所以在上单调递增，在上单调递减，
由于不是方程的解，所以方程可变形为，
令，可以看成由反比例函数向右平移1个单位，向上平移个单位得到，
所以的图象也关于点对称，
原方程在区间上的所有实数解之和为4，等价于函数与的图象在区间有两个交点，
注意到，，，
作出图象如下，可得，即.
所以符合要求的正整数的取值为.
故答案为：，（写出其中一个即可）.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角为第二象限角.
（1）若，化简并求值：.
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由角为第二象限角，，求出 ， ，再根据诱导公式化简即可；
（2）先利用，求出，再求出，
带入即可求解.
【小问1详解】
因为角为第二象限角，，
所以 ，
所以
所以.
【小问2详解】
因为，
所以
所以
所以
因为角为第二象限角，所以 ，所以 ；
所以
所以.
16. 已知函数．
（1）若的解集为，求的解析式及实数c；
（2）若，解关于x的不等式．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）将问题转化为有唯一零点，且开口向上，进行求解；
（2）当时，将不等式等价转化为，利用分类讨论的思想进行求解．
【小问1详解】
由的解集为，知有唯一零点，且开口向上，
令，展开得：，
，解得：，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
由，不等式等价于，
当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为．
17. 静脉注射是一种常见的医疗方法，即把药液、营养液等液体物质直接注射到人体静脉中.而药物在人体内的含量会随着时间的增加而变化，通过一些技术手段我们可以测得药物在患者体内的含量，再根据不同药物在体内起效的最低含量，决定何时需要再次用药.现给某患者在1小时内静脉注射了某种药物75mg，在注射过程中，患者体内的药物含量逐渐增加；停止注射后，患者体内的药物含量随时间而衰减（如图）.为了描述该种药物在此患者体内药物含量（mg）与时间t（小时）的关系，现有以下五种函数模型供选择：
①；②；③；④；⑤；
（1）根据题图，选出你认为最符合实际的两个函数模型，用于描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况，给出理由；并求出相应的函数解析式；
（2）如果这种药物在患者体内的含量需保持在10mg及以上时才有疗效.为保证有疗效，那么第一次注射结束后，最迟应在什么时候再向该患者补充注射这种药物?
参考数据：，，，，，.
【答案】（1）选择模型①和③，理由见详解；.
（2）应该在第一次注射后小时再次注射.
【解析】
【分析】（1）根据曲线过点和代入各个模型运算验证排除；再利用待定系数法分别求解和的解析式；
（2）当时，令，利用指数函数单调性和对数的运算得解.
【小问1详解】
由图可知患者体内的药物含量不过点，故排除模型②；
图中曲线过点，对于模型④，故排除模型④；
对模型⑤，图中曲线过点，代入得，解得，但此时，不合题意，排除模型⑤；
所以可选择模型①和模型③来描述患者体内的药物含量在不同时间的变化情况.
因为图中曲线过点，代入，可求得，此时满足图中曲线时的变化；
代入，即，得，
所以，又符合图象过点，
此时满足图中曲线时的变化；
所以.
【小问2详解】
由（1），当时，，得，
又，所以，得，
又第一次注射用时1小时，故为保证有疗效，那么第一次注射结束后小时需再次注射.
18. 已知函数的定义域为，对都有，且时，，其中.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并根据单调性的定义证明；
（3）若对任意，总存在，使得不等式成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）2 （2）在R上单调递减，证明见详解；
（3）
【解析】
【分析】（1）赋值法令，代入运算得解；
（2）结合条件按照单调性定义证明步骤证明即可；
（3）由题问题转化为，即结合在R上为减函数，原问题等价于对任意的，总存在，使得成立，令，，等价于，分别求出得解.
【小问1详解】
令，得，又，得.
小问2详解】
函数在R上为减函数，理由如下：
对，不妨设，即，所以，
令，，得，
即，所以，
所以函数在R上为减函数.
【小问3详解】
不等式等价于，
所以，由（2）知在R上为减函数，
故原问题等价于对任意的，总存在，使得成立，
令，，
原命题等价于对任意，都有成立，这进一步等价于，
对于，令，
由对勾函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
又，所以；
对于，令，
记，对称轴为，
当即时，，所以；
当即时，成立，所以；
综上，实数的取值范围为.
19. 已知函数的图象与函数（，且）的图象关于对称，且.
（1）求函数的解析式；
（2）设m，n是方程的两个实数根（其中，，且，），求的值.
（3）是否存在实数，使得函数只有一个零点，如果存在，求出t的取值范围，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）； （2）56；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由反函数性质结合题意可得答案；
（2）由（1）可得等价于，然后由韦达定理结合题意可得答案；
（3）问题等价于方程只有1个根，令，则方程化为
，然后通过分析方程二次项系数与判别式可得答案.
【小问1详解】
由反函数定义可得：，又，
则，从而
【小问2详解】
由（1），等价于，则，
因为方程两根，设，
由韦达定理，，.
，注意到.
则；
【小问3详解】
由题可得，
只有1个零点，则方程只有1个根，
因在上单调递增，
则.
令，则.
即方程只有一个正根，可满足题意.
若，则，不满足题意；
若，此时方程为二次方程.
当
或.
当，化为:，满足题意；
当，化为:，不满足题意；
当，由上分析可得或且.
当，注意到两根之和为，两根之积为，则此时方程有2个正根，不满足题意；
当且时，为使方程只有一个正根，需满足两根之积.
综上，为使只有1个零点，或.