重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期12月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知项找规律可得选项.
【详解】解：根据题意，数列，，，，，
有，，，，
依次类推：.
故选：D.
2. 抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．
【详解】抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以
故选：D
5. 在平面直角坐标系中，若△ABC的顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.
【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B在椭圆上，
所以，，
由正弦定理边角关系知：.
故选：A
6. 已知函数，数列满足，则（ ）
A. 2022B. 2023C. 4044D. 4046
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
7. 已知双曲线的与抛物线的一个交点为M．若抛物线的焦点为F，且，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】根据题意，设，因为，且，
所以，代入到抛物线中，得，
所以，将代入到双曲线中，得，即，
设双曲线的焦点，渐近线为，即，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，
故选：D.
8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由整理得到，设，则， ，由求出，利用累加法得到，由对于任意的，，不等式恒成立，得到对于任意的，，不等式恒成立，即对于任意的恒成立，设，则对于任意的恒成立，则，计算此不等式组即为所求.
【详解】，，
，，
，，
，
设，则，
，，，
，，
对于任意的，，不等式恒成立，
对于任意的，，不等式恒成立，
对于任意的恒成立，
设，则对于任意的恒成立，
则，即，解得或.
故实数的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B. 已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C. 已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D. 已知函数，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.
【详解】由题意可知，，故A错误；
根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.
因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；
函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，
又，
所以，故D正确.
故选：BD.
10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A. 为等比数列
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点
【答案】BD
【解析】
【分析】若为等比数列，可得，则求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D.
【详解】解：，
，，
对于A：为等比数列，
则 ，
，不满足条件，故错误；
对于B：,
,
即解得或（舍去）满足条件.
故B正确；
对于C： 轴，且，
即解得，
不满足题意，故C错误；
对于D：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
解得（舍去）或
，故D正确.
故选：BD
11. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 第三次得到的数列共9项
B.
C. 数列是等比数列
D. 对每个正整数，以为边长能构成一个三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D.
【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确；
由已知，，所以，
当时，设第次构造后得到的数列为，则，
则第次构造后得到的数列为，
则，所以B不正确；
因，则，所以，
因，则，
所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确；
因为数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有，
假设以为边长能构成一个三角形，所以，
从而，即，
即，显然不成立，所以D不正确.
故选：AC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
12. 倾斜角为90°且与点距离为2的直线方程为______．
【答案】或
【解析】
【分析】结合倾斜角以及直线的位置关系求出满足条件的直线方程即可．
【详解】所求直线的倾斜角是，
所求直线和直线平行，
与直线距离为2的直线方程为：或，
故答案为：或．
13. 已知正项等比数列的前n项和为，且，若，则__________．
【答案】31
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.
【详解】由，且得：，
令，则，
解得或（舍），所以，
而数列为正项等比数列，所以，所以，
所以
故答案为：31
14. 设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用几何法将题目转化为几何问题，曲线 在图形上表示菱形，而原式化为表示动点到两定点距离和问题，利用图中不等关系即可求解.
【详解】曲线 ，
当 时，化为 ；
当 时，化为 ；
当时，化为
当 时，
化为 ．
画出图象：表示菱形
设,由，
即．
设 故的轨迹为以为焦点的椭圆，
其四个顶点为
令，有，此时，则，则图中，,
同理令，则有，此时，则，则图中，，
当点位于菱形上下顶点时，（如取图中的上顶点）
根据对称性,
，即，
当点位于菱形左右顶点时，此时
，
解得
取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
15. 已知直线l经过点．
（1）若点在直线l上，求直线l的方程；
（2）若直线l与直线垂直，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点坐标可求直线的斜率，进而根据点斜式求方程.（2）根据两直线垂直斜率之间的关系，可求的斜率，然后根据点斜式求方程即可.
【小问1详解】
直线l经过点和点，直线l的斜率k＝3，
直线l的方程为（或）；
【小问2详解】
因为直线l与直线垂直，设直线l方程为，
因为直线l过点，所以，解得．
所以直线l的方程为
16. 如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形所在的平面，且.
（1）求多面体的体积；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）利用补形法和体积差减去三棱锥的体积即可；
（2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，，求出，并结合立体图形判定二面角为锐角，从而进一步求出二面角余弦值即可.
【小问1详解】
平面，同理均与平面垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体，此长方体体积为，三棱锥的体积为，故此多面体的体积为10；
【小问2详解】
以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则，
，设平面的法向量为，
则，令得，
又为正方形，，故平面，
为平面的一个法向量，
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
17. 已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，
（i）求数列的前n项和；
（ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
（2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，则，解得，
；
【小问2详解】
（i）由（1）知，
，
，
，
；
（ii）由（i）得，
设，则，
，数列是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，，
当为奇数时，恒成立，，，
实数的取值范围为.
18. 已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切．
（1）求E的方程；
（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点．
①证明：．
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②定值为1，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设出抛物线方程，与直线联立，利用即可求出；
（2）①设出与抛物线相切的直线方程，与抛物线联立，利用得出斜率关系即可证明；
②通过斜率关系可得出，即可说明，得出定值.
【详解】（1）由题设抛物线方程为，
联立方程组可得，
直线与抛物线相切，，解得，
抛物线方程为；
（2）①设，
设过点且与抛物线相切的直线斜率为，则直线方程为，
联立方程可得，
则，即，
由题意可知直线和的斜率是方程的两根，
所以，所以；
②设，不妨设，
设直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为且斜率为，
则，
由①可知，则，
，
，
所以，
则，则，
又，则，
所以，则为定值.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 将平面直角坐标系中的一列点记为.设，其中为与轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数，都有，则称为点列.
（1）判断是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且.任取其中连续三点，证明为钝角三角形；
（3）若为点列，对于正整数，比较与大小，并说明理由.
【答案】（1）为点列，理由见解析
（2）证明见解析 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用点列的定义进行判断即可；
（2）利用为点列，得到对中连续三点、、，都有，分析得出，即可证明；
（3）利用为点列，得，，则列举不等式后，利用不等式的基本性质左右分别相加，可得，再由，，即可判断得到答案.
【小问1详解】
为点列，理由如下：
由题意可知，，，所以，
，即，，
所以、、、、、点列；
【小问2详解】
由题意可知，，，所以，
因为为点列，所以，，
又因为，所以
所以对中连续三点、、，都有，
因为，，
因为，故与不共线，即、、不共线，
因为，
所以，则为钝角，
所以为钝角三角形；
【小问3详解】
由，
因为点列，由（2）知，，
所以，，，
，
两边分别相加可得，
所以，
所以，所以，
又，，
所以，，
所以
【点睛】方法点睛：判断的内角为钝角的方法如下：
（1）余弦定理：计算得出；
（2）向量法：计算得出.