安徽省马鞍山市东方实验学校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省马鞍山市东方实验学校九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，求反比例函数的解析式．解题的关键是掌握的顶点坐标为：．
先求抛物线的顶点坐标，顶点的横纵坐标之积即为值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴．
故选D．
2. 四条线段成比例,其中＝3，，，则等于( )
A. 2㎝B. ㎝C. D. 8㎝
【答案】A
【解析】
【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 = ，代入即可求得b的值．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴ =，
∴b= = =2（cm）．
故选A．
【点睛】本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义．
3. 将二次函数的图像向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数变换 “上加下减，左加右减”的方法，便可得到答案
【详解】解：的图像向上平移3个单位长度得到+3=
再向左平移2个单位长度得到=
【点睛】本题考查二次函数的变换，掌握其变化方法是关键．
4. 根据下表中二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A. 3.23＜x＜3.24B. 3.24＜x＜3.25C. 3.25＜x＜3.26D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．
故选B．
5. 在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故选：B．
6. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（ ）
A. 16B. 20C. 30D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，从而推出，，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，
∵被截成三等分，
∴，
∴，，
∴，，
∵图中阴影部分的面积是18，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ）
A. 10mB. 8mC. 6mD. 4m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED•FD=4×16=64，
解得CD=8m（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
8. 已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若、、是抛物线上的三点，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数图象并结合对称轴为，得出，，，即可判断A；求出即可判断B、C，根据抛物线开口向上且即可判断D，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴为直线，
∴，，，
∴，
∴，故A正确；
∵抛物线与x轴正半轴的交点为，
∴，
∴，
∴，，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：B．
9. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在这一范围内有解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线与抛物线在时有公共点时t的范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，；
当时，，
当直线与抛物线在时有公共点时，，如图．
所以关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，t的取值范围为．
故选C．
10. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）

A. ①②B. ①②③C. ①②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；
③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；
④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【详解】∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，
∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，
∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，
即∠CAM=∠DEM=90°，
∵∠CMA=∠DME，
∴△CAM∽△DEM，故①正确；
由已知：AC=AB，AD=AE，
∴，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD，
∴，即，即CD=BE，故②错误；
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴，
∴MP•MD=MA•ME，故③正确；
由②MP•MD=MA•ME
∠PMA=∠DME
∴△PMA∽△EMD
∴∠APD=∠AED=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB，
∴2CB2=CP•CM，故④正确；
即正确的为：①③④，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
11. 已知线段，满足，那么等于_____．
【答案】##2
【解析】
【分析】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解．
根据比例的基本性质可得，再去括号，合并同类项，进行变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
．
故答案为：．
12. 如图，过反比例函数图象上的一点作轴的平行线交反比例函数于点．连接、．若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可，求出，即可得解．
【详解】解：如图：令交轴于，
∵点在反比例函数上，且轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及相似三角形的判定和性质．
连接，利用勾股定理逆定理证，结合证明，可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴为直角三角形， ，
∵，
∴，
∴为直角三角形， ，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：3．
14. 定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数和的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”与坐标轴只有两个公共点，则k的值____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意可得抛物线经过点，再分两种情况：当抛物线过原点时，当点为顶点时，分别求解即可得解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴当抛物线过原点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，此时，
解得：；
当点为顶点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，则，
解得：，
把代入得：，
解得：，
综上所述，k的值为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，共90分）
15. 已知二次函数，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
又∵，即，
综上所述：
16. 如图，在中，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD：AB=AE：AC以及AF：AD=AE：AC，即可得出结论正确．
详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.
17. 如图，已知点、两点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）由和都在反比例函数图象上，故把点坐标代入反比例函数的解析式求得的值，代入点坐标求得值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象和交点坐标即可得出结果．
【小问1详解】
解：将代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为：，
在反比例函数图象上，
，
，
，
一次函数的图象过，两点，
，
解得，．
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
，变形得：，
由图可得，一次函数图像在反比例函数图像上方时，
x的范围是：或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标的意义，一次函数与坐标轴交点的求法，利用了数形结合的思想．
18. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；
（2）利用图中网格线交点用直尺在线段上找到一点D，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，顺次连接、、即可；
（2）如图，，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
【小问1详解】
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
如图，点D为所求，
如图，，，
由平行线分线段成比例定理即可得到，，
故点D满足题意．
【点睛】此题考查了位似图形的作图、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握作图步骤和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
19. 在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长．
【答案】或2
【解析】
【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∵，
∴，
解得；
当时，则，
∴，
∵，
∴，
解得；
综上所述，的值为或2，
20. 如图，已知点为线段的中点，且，连接，，是的平分线，与相交于点，于点，交于点，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
首先根据线段中点的性质，可得，根据勾股定理，即可求得，再由，，即可证得四边形为矩形，，可得，进而证得，再根据角平分线的定义，可得，可得，进而证得，设，则，由，可得，进而得到，即，解此方程，即可求得的长。
【详解】∵，为线段的中点，
，
，
，
∵，
∴四边形为矩形，，
，
，
又∵是的平分线，
，
，
，
设，
则，
，
，
，即，
解得：，
即，
故答案为：。
21. 某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为（且为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】（1）（且为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；
【解析】
【分析】（1）由题意设销售数量把代入函数解析式，可得再利用总利润等于销售数量千克乘以每千克水果的利润元，从而可得答案；
（2）利用（1）中的二次函数解析式，结合且为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可．
【详解】解：（1）由题意设销售数量
把代入函数解析式；

解得：


（且整数）；
（2），
抛物线的对称轴为：
＜ 且为整数，
当或时，取得最大值，
最大值为：元．
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键．
22. 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）
（2）2；P（-1，0）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
23. 如图，在等边三角形中，，连接，交于点．
（1）求出的度数；
（2）求证：；
（3）连接，当时，求证：．
【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析．
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得；
由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立；
延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：由可知，
在和中，，，
，
，
，
又是等边三角形，
，
；
【小问3详解】
证明：如下图所示，延长至，连接、，使，
由可知，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
又，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y
﹣0.06
﹣002
0.03
0.09