安徽省蚌埠市怀远县九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省蚌埠市怀远县九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共24页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若关于的函数是二次函数，则应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
2. 已知（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】解：∵，
∴设，（），
∴，
故选：．
3. 若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，
∴，即，
故选：A．
4. 将抛物线先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”即可得到答案．
【详解】解：抛物线先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为，
故选D．
5. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据，得到，即可求出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选B．
6. 若抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A. B. 2C. 或2D. 10或
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．由于抛物线与轴有且只有一个交点，根据根的判别式，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
，
解得或2，
故选C．
7. 如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A．，
，
即，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B．，
，
又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 已知点，和都在抛物线（）上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式可得对称轴为直线x=-1，由可得抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线x=-1，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵，
∴，
故选：．
9. 如图，，，三点共线，与交于点，，若点是线段的黄金分割点（），则的周长的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，黄金分割．由得，由证明，然后由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与的周长之比，
而，
故选：A．
10. 如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
易证，
，
．
分三种情况：
（1）如图1，当时，点在上，过点作于点，
则，
，
，
，
，
函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分；
（2）如图2，当时，点在上，
，
函数图象是直线（随增大而增大）的一部分，
（3）如图3，当时，点在上，过点作于点，
则，
，
，
，
，
函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分；
只有选项C的图象符合条件．
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知线段a=3cm，c=6cm，那么线段a、c的比例中项b=__________cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质：比例中项的平方等于两条线段的乘积解答即可．
【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以c2=ab，即b2=3×6=18，
解得b=．
故答案为
【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
12. 小明同学在校运动会铅球比赛中，某次掷铅球时，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则小明同学掷铅球的成绩是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，依据题意令，得到关于的方程，然后解方程并检验即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：令，则，整理得：，
解得：（舍去），，
∴小明同学掷铅球的成绩是，
故答案为：．
13. 如图，反比例函数（）的图象与矩形在第一象限相交于，两点，，连接，，，若的面积为12，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，利用割补法求解是解题的关键．先表示，再由建立方程求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
故答案为：16．
14. 如图，在等边中，点，分别是，边上的动点（不与边的端点重合），以为边向上作等边，与交于点，连接，．
（1）图中与相似的三角形是______；
（2）若，，则长度的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质证明，即可证明三角形相似；
（2）过点作于点，设，则，将各边边长用含的代数式表示出来，得到，即可求出最小值．
【详解】解：（1）是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于点，设，则，
，
，
，
，
，
，
当时，的最小值为84，
的最小值是．
故答案为：；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知实数，，满足，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令，，（），代入求解即可．
【详解】解：，
设，，（），
.
16. 已知，二次函数中的，满足如表．
（1）求，，的值；
（2）结合表格，直接写出满足什么条件时，随的增大而减小．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象与性质，正确求出函数表达式是解答的关键．
（1）先由表格数据得到二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故设顶点式求解函数表达式，进而可求解；
（2）根据表格数据和二次函数的图象与性质求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，当和时，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为，
设函数的表达式为，把代入，
得，解得，
．
，，；
【小问2详解】
解：由表格可知，二次函数图象的对称轴为直线，又，
∴当时，随的增大而减小．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当，，三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．过点作于点，交于点，证明，得到，即，求出即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，交于点，
，，
，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
即旗杆的高度为．
18. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点．
（1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为；
（2）将向上平移个单位长度得到，请画出．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可；
（）根据平移的性质即可画出；
本题考查了画位似图形和平移图形，掌握位似图形的性质和平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，
∴即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）；
【问题解决】（1）填空：①若，则______；
②若，则______；
……
（2）论证：请选取（1）中的一种情况，证明你的结论；
【猜想】根据上述规律，猜想，则______（用含的式子表示，不用说理）．
【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；【猜想】
【解析】
【分析】（1）根据［问题感知]即可得出①和②的结论；
（2）选取（1）①给予证明．如图，过点作交于点，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论；选取（1）②可按同样方法证明；
［猜想] 结合（2）的证明及结论即可得出答案．
【详解】（1）解：①若，则，
故答案为：；
②若，则，
故答案为：；
（2）证明：选取（1）①给予证明．
如图，过点作交于点，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
选取（1）②给予证明．
如图（见上图），过点作交于点，
由①得：，
∴，
由①得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
［猜想]
解：∵，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
20. 2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个．
（1）求与的函数表达式；
（2）徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设一次函数表达式为（），根据题意列出二元一次方程组，即可得到答案；
（2）设最大利润为元，根据题意得到，根据二次函数的性质计算即可．
【小问1详解】
解：设一次函数表达式为（），
当销售单价为12元时，日销售量为76个；当销售单价为16元时，日销售量为68个，
，
解得，
与的函数表达式为；
【小问2详解】
解：销售单价为元，进价为10元/个，
每个徽章的利润为元，
设最大利润为元，
，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，最大值为800元，
徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元．
六、（本题满分12分）
21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围；
（3）点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）先用待定系数法求出一次函数解析式，然后再求出点坐标，最远求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点M的坐标，找出反比例函数图象位于一次图象上方时的范围即可；
（3）先求出，得出，设点坐标为，得出，求出c即可得出答案．
【小问1详解】
解：一次函数（）的图象经过点和点，
，
解得，
一次函数的表达式是；
在一次函数的图象上，
，解得，
点的坐标为，
点在反比例函数（）的图象上，
，
，
反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：解方程组，
得或，
点坐标为，
点坐标为，
由图象可知，当或时，反比例函数的值大于一次函数的值；
【小问3详解】
解：点坐标为1,0，点坐标为，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
设点坐标为，
，
解得，
点坐标为或．
七、（本题满分12分）
22. 如图，点是的边上一点，点在外部，且．
（1）求证：；
（2）交于点，如果，平分，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定方法，证明，即可证明结论；
（2）证明，得到，即可得到，证明，得到，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，，，
，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知，抛物线经过点和．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）该抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点，
（ⅰ）如图1，求证：是直角三角形；
（ⅱ）如图2，该抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一动点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）或或或
【解析】
分析】（1）运用待定系数法解方程组即可；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可；
②分两种情况：当以及，列出比例式，求出，再求点P坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点和，
，
解得
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：（ⅰ），
当时，，
点坐标为0,2，
当时，，
解得或，
点A在点左侧，
点A坐标，点坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形；
（ⅱ），
抛物线的对称轴是直线，
点坐标为，设点坐标为，
分两种情况：①当时，，
即，
解得，
此时点的坐标为或；
②当时，，即，
解得，
此时点的坐标为或；
综上，点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理．解答本题注意分类讨论的思想以及数形结合的思想的应用．
…
0
1
2
…
…
2
…