安徽省马鞍山市第七中学九年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省马鞍山市第七中学九年级上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共23页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. （2，1）B. （-2，1）C. （2，-1）D. （-2，-1）
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析： ∵，∴顶点坐标为（－2，－1）．故选D．
考点：二次函数的性质．
2. 将函数的图象平移后得到函数的图象，平移方式正确的是（ ）
A. 向右平移3个单位，再向上平移2个单位
B. 向右平移3个单位，再向下平移2个单位
C 向左平移3个单位，再向上平移2个单位
D. 向左平移3个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由题意得：平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位；
故选D．
3. 已知，则下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后可依次排除选项．
【详解】解：由可知：，
∴，，，；
故选C．
4. 点，，均在的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，则该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小，然后问题可求解．
【详解】解：由可知：，
∴该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点，，均在的图象上，
∴，
故选A．
5. 如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．在直角三角形中，根据正弦的意义可求解．
【详解】解：如图，
∴，
∴；
故选B
6. 杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看做是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用（投球问题），把y=ax2+bx+c化成顶点式，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
将函数解析式化为顶点式，再求二次函数的最值即可．
【详解】解：，
∵，
当时，取得最大值，
∴羽毛球飞出的最大高度为米，
故选：A．
7. 如图，抛物线，对称轴为直线，下列结论正确的是（ ）
A. B. 当时，顶点的坐标为2,1
C. 当时，，则D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】解：∵二次函数，对称轴为直线，
∴对称轴为直线
∴，故A选项不正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项不正确；
当时，由图象知此时
即
∴，故C选项正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项不正确；
故选C．
8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
9. 如图，在平行四边形中，在边CD上，，与BD交于点，平行四边形的面积为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质可知，根据可知，根据平行四边形对边平行可证，根据相似三角形对应边成比例可知，从而可知，根据三角形的面积公式可求的面积．
【详解】解：如下图所示，连接，
平行四边形的面积为，BD是平行四边形的对角线，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：D．
10. 如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，三角形的面积，求出点P、Q到达各转折点时的时间，然后分情况讨论是解题的关键，
根据矩形的性质求出点到的距离等于4，到的距离等于6，求出点到达点的时间为，点到达点的时间为，点到达点的时间为，然后分①时，点、都在上，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②时，点在上，点在上，表示出、，然后根据列式整理即可得解；③时，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵矩形中，与交于点，
∴点到的距离，到的距离，
∵点是的中点，
∴，
∴点到达点的时间为，
点到达点的时间为，
点到达点的时间为，
①时，点都在上，，
的面积；
②时，点在上，点在上，，
，
∴当时，的面积最小，且最小值为10；
③时，，
的面积；
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题是解题的关键；因此此题可分当时，则函数为一次函数，与x轴必有交点，当时，则可根据“当时，二次函数与x轴有两个交点；当时，二次函数与x轴有一个交点；当时，二次函数与x轴没有交点”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：当时，即，则函数为，与x轴必有交点，故符合题意；
当时，即时，则函数为二次函数，
∴，
解得：且；
综上所述：；
故答案为．
12. 在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可．
【详解】解：如图，
，
∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或，
∵，，，
∴或，
解得：或；
故答案为或．
13. 将等边三角形沿直线平移得到，使点与C重合，连接，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义，熟练掌握平移的性质、等边三角形的性质、勾股定理及正切的意义是解题的关键；过点作于点D，由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解．
【详解】解：过点作于点D，如图所示：
∵等边三角形沿直线平移得到，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
14. 已知点在抛物线上．
（1）若的取值范围是________；
（2）将抛物线上A，B两点之间（含A，B两点）的图象设为G，若直线与图象G有两个交点，则k的取值范围是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由，可得抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，从而得到，即可求解；
（2）根据题意可得，再由抛物线的顶点坐标为，可得，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，
∵点在抛物线上，，
∴，
解得：，
即若的取值范围是；
故答案为：；
（2）∵直线与图象G有两个交点，
∴，
根据题意得：抛物线的顶点坐标为，
∴函数的最大值为5，
∴，
由（1）得：抛物线上的点离对称轴越远，函数值小，
当，即时，此时直线在点的上方或过点B，
∴，
∵，
∴此时的值随着h的增大而增大，
∴，即，
∴；
当，即时，此时直线在点的上方或过点B，
∴，
∵，
∴此时的值随着h的增大而减小，
∴，即，
∴；
综上所述，k取值范围为．
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；根据特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
16. 如图，中，D是上一点，，，，求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图）
（1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出；
（2）在图2中，在线段上画一个点M，使．
【答案】（1）图见详解
（2）图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键；
（1）根据位似图形的性质可直接进行求解；
（2）根据相似三角形的性质可进行求解
【小问1详解】
解：所作如图所示：
【小问2详解】
解：所作点M如图所示：
18. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，，且与反比例函数的图象在第一象限内交于点，作轴于点，．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出时对应的的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与反比例函数综合，解一元二次方程；
（1）根据题意得出，，，则，待定系数法求一次函数解析式；进而证明得出，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式，得出，结合函数图象，写出直线在双曲线下方时的自变量的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴，，，则，
把，代入
∴
解得：
∴
∵
∴
∴，即
∴，
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的解析式为
小问2详解】
解：联立
解得：或
∴
根据函数图象可得时对应的的取值范围为或．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图所示，和中，，，且平分．
（1）求证：；
（2）点E是边的中点，连接和，和交于点F，若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）2
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求解；
（2）由直角三角形斜边中线可得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：∵点E是边的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 渡江战役纪念馆位于合肥滨湖新区，是国家级国防教育示范基地、全国爱国主义教育示范基地．纪念馆广场中胜利塔代表着“八一”军队的胜利，塔体从空中俯看呈五角星状．小明同学想测量该胜利塔的高度，如图所示，他用高为1.5米的测角器在与塔的底部B成一条直线的C，D两处地面上，分别测得塔顶部A的仰角，，同时量得米．问胜利塔的高度约为多少米？
（，，，，精确到1米）
【答案】99米
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得米，米，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：米，米，，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴米，
∴米；
答：胜利塔的高度约为99米．
六、（本题满分12分）
21. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个．物价部门规定，商品利润不得超过进价的，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．
（1）设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元
【解析】
【分析】本题主要考查了列一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出函数解析式是解题的关键．
（1）先根据题意列出y关于x的函数关系式，然后再根据商品利润不得超过进价的确定x的取值范围即可；
（2）设每天所获销售利润为w元，，再根据题意列出w关于x的函数解析式，然后化成顶点式即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，
∵商品利润不得超过进价的，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设每天所获销售利润为w元，，
则，
∴当元（降低了15元）每天所获销售利润最大，最大利润4500元，
∴单价降低15元时，每天所获销售利润最大，最大利润是4500元．
七、（本题满分12分）
22. 在矩形中，E是边上一点，连接，将沿翻折得到．
（1）如图1，若，，当点F在矩形对角线上时，求的长；
（2）如图2，当点F在上时，若，，求的长；
（3）如图3，当点F在上时，延长与的平分线交于点G，交于点H，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据折叠的性质可得、、，再根据勾股定理可得，进而得到，最后运用勾股定理即可解答；
（2）由矩形的性质可得，，再结合折叠的性质可得，进而说明即，然后根据勾股定理即可求解；
（3）如图，过点H作于点M，再证可得，进而得到，；则有，设，则有，最后代入即可解答．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
设，根据折叠的性质可得、，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，解得，
即．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，，
∴在中，，
∴，解得，
∴；
【小问3详解】
解：如图，过点H作于点M．
∵，
∴由折叠的性质可知：，
∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的函数关系式及点M的坐标；
（2）如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？
【答案】（1）抛物线的表达式为，点M的坐标为
（2）点E的坐标为或
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）由直线的表达式知，，则，则，由点D、M的坐标得的长，即可求解．
小问1详解】
解：对于，令，解得，令，则，
故点A、B的坐标分别为、，
∵抛物线经过坐标原点，故，
∴将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为；
则抛物线的对称轴为，当时，，
则点M的坐标为；
【小问2详解】
解：如图1，过点E作轴交于点H，
∴由（1）可知：，
设点E的坐标为，则点，
则的面积，
解得，
故点E的坐标为或；
【小问3详解】
解：∵直线向下平移后过点，
∴设直线的表达式为，
∴，解得：，
故直线的表达式为，
令，解得，
故点；
过点D作于点H，
∵，即点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为3，
∴，则，
∵，
∴，
由点D、M的坐标得，，
则，
故，
∴．