安徽省皖东南四校上学期九年级期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省皖东南四校上学期九年级期末考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
命题人：曾令吾 审题人：明文娟 宁国市宁阳学校
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坡度及坡角的知识，解题关键是理解“坡度坡角的正切值”．根据“坡度坡角的正切值”，据此直接解答即可．
【详解】解：设该斜坡的坡角为，
根据题意，斜坡的坡度，
即有，
∴坡角．
故选：D．
2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移,熟练掌握函数的平移法则是关键．直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移２个单位长度，得到的拋物线的解析式为：，即．
故选：C．
3. 在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握一个角锐角三角函数定义，勾股定理，会利用设参数求线段长是解题关键．
设，，，然后利用勾股定理求出的长，然后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：解：∵中，，，
∴，，
设，，
∴，
∴．
故选：C．
4. 在反比例函数的图象上，当时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．反比例函数，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小，据此即可求解．
【详解】解：∵当时，y随x的减小而增大，
∴，
解得：．
故选：C．
5. 已知二次函数y=x2-4x+m 的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2=6，则m的值为（ ）
A. 3B. -3C. 2D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质，求出对称轴，得到，结合已知条件求出，即可求出m的值．
【详解】解：由题意知对称轴为直线，
，即．
．
解得：．
把代入
得．
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出．
6. 已知二次函数的图象过点，，若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．
【详解】解：∵二次函数的图象过点，，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，，，
∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，
∴．
故选B．
7. 一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解．
【详解】解： A. 一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
B. 一次函数中，二次函数中，，符合题意；
C.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
D.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，可设，则，，由平行四边形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等及对顶角相等可得，，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由等角对等边可得，，由线段的和与差可得，由可得，由相似三角形的性质可得，于是得解．
【详解】解：，
可设，
则，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，两直线平行内错角相等，对顶角相等，三角形角平分线的定义，等角对等边，线段的和与差，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9. 如图，等边的顶点B恰好落在等边的边上，，交于点F．若，，则的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质与判定；根据题意证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，都是等边三角形，
∴，
∴，即
∴
∴
∴
解得：
故选：B．
10. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t≤0B. ﹣1≤tC. D. t≤﹣1或t≥0
【答案】A
【解析】
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【详解】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，
D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4．
综上所述：﹣1≤t≤0，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由题干可得，根据比例的性质即可解得b、a的比值．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：
12. 已知线段，是线段的黄金分割点，那么________．
【答案】或2
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义是解题关键．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为．根据黄金分割点的定义，分和两种情况，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论，
①若，则有，
所以；
②若，则有．
综上所述，或2．
故答案为：或2．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于______．
【答案】9
【解析】
【分析】过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E，则，得出，设，，根据反比例函数的解析式表示出，，，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E，则，
∴，
∵是的中线，
∴，
设，，
∴C的横坐标为，B的横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理．
14. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数同值点，已知二次函数．
（1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____．
（2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____．
【答案】 ①. ﹣8 ②. m＜﹣3
【解析】
【分析】（1）根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案；
（2）（a，a），（b，b）在直线y＝x上，令＝x，整理得，可得Δ＝＞0，解得m＜1，再设，由a＜1＜b，可得x＝1时，y＝3+m＜0，解得m＜﹣3，即可求解．
【详解】解：（1）∵点（2，2）是此函数的同值点，
∴抛物线经过（2，2），
将（2，2）代入得2＝4+6+m，
解得m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
（2）∵（a，a），（b，b）在直线y＝x上，
令＝x，
整理得，
∵函数有两个相异的同值点，
∴Δ＝＞0，
解得m＜1，
设，
∵a＜1＜b，
∴x＝1时，y＝3+m＜0，
解得m＜﹣3，
综上可知，m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分1分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、绝对值、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则和特殊角的三角形函数值是解题关键．首先根据负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数值、绝对值的性质进行运算，再进行乘法运算，然后相加即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为O0,0，，．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）图形见解析
（2）图形见解析 （3）和是位似图形，图中点M为所求位似中心，点M的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键；
（1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；
（2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可；
（3）连接，，，由交点可得位似中心，从而可得答案.
【小问1详解】
解：如图，即为所作图形；
【小问2详解】
如图，即为所作图形；
【小问3详解】
由作图可知，，是相似三角形，
又因为对应点所连直线经过同一个点，
所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，如图，，
（1）求证：；
（2）若平分，平分，且，，求．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质；
（1）根据可得到，，进而得出，，根据和中有两个角相等即可得到
（2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到，根据比例关系即可求出面积．
【小问1详解】
证明：，
，，
，
，
在和中；
，，
；
【小问2详解】
解：，，分别为，的角平分线，且
；
；
；
18. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元.
（1）求与的函数关系式；
（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】（1）
（2）当每件商品的售价定为55元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：，再整理，最后再求出x的取值范围即可；
（2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案．
【小问1详解】
解：设每件商品的售价上涨元，则销售量为件，
根据题意得：
整理，得：．
∵每件售价不能高于65元，
∴，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：将化为顶点式为：，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为．
∴（元/件），
∴当每件商品的售价定为55元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．
（1）求仰角的正弦值；
（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）
【答案】（1）仰角的正弦值为
（2），两点之间的距离约为
【解析】
【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF=BD，DF=BE=1.6m，则AF=160m，然后根据正切的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF=120m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD+CD即可．
【小问1详解】
如图，过点作于，过点作于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即．
答：仰角的正弦值为；
【小问2详解】
在中，，
在中，，，
∵，
∴，
∴．
答：，两点之间距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且．
（1）求k的值及线段的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标．
【答案】（1），的长为3；（2）（0，10）．
【解析】
【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；
（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴A点纵坐标为4，代入，得，解得，
则A点坐标为（8,4），代入，得，解得，
设BC为a，则，
，
解得，，则的长为3；
（2）设P点坐标为（0，m），
的面积=，的面积=，
由题意得，，
解得，，
P点坐标为（0，10）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程．
六、（本题满分12分）
21. 如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上一动点（不与端点重合），且始终保持．

（1）求证：；
（2）设的长为x，的长为y，试说明当点E从B向C运动的过程中，y的值随x的变化情况；
（3）点E从B向C运动的过程中，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得，利用同角的余角相等得到，进而根据两角相等证得结论；
（2）利用相似三角形的性质推出，代入数值即可得到答案；
（3）过点E作于点G，根据相似三角形性质推出，证明得到，进而列得，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
过点E作于点G，

∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，即．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在正方形中，点E是边上的一点（不与点C，D重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点M，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：
（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到，由（1）知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质及根据全等三角形的性质得到，然后在求出，，，再证，根据根据相似三角形的性质分别求出，即可得到结论；
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【小问3详解】
∵四边形是正方形，，，
∴，，
由（1）得，
∴，
，
∵，
，
∴
∴，
∴，
在中
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于A−2,0，B4,0两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）14 （3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将点A−2,0，B4,0代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）首先确定点坐标，并利用待定系数法解得直线的解析式，过点作轴，交于点，设，则，易知，结合的面积是，可解得，进而可知，然后计算的面积即可；
（3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，利用待定系数法解得直线的解析式，进而可得，F1,0，易知、均为等腰直角三角形，设点，则，，所以，在利用勾股定理确定，结合解得的值，即可获得答案．
【小问1详解】
解：将点A−2,0，B4,0代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
对于抛物线，
令，可得，即C0,6，
设直线的解析式为，将点B4,0，C0,6代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于点，如下图，
设，则，
∴，
∵的面积是，
∴，即，
解得，
∵点在轴的上方且横坐标大于2，
∴，
∴，
∵A−2,0，B4,0，
∴，
∴；
【小问3详解】
设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，如下图，
对于抛物线，其对称轴为，
设直线的解析式为，将点A−2,0，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∴，F1,0，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
设点，则，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，可有，
∵点到直线的距离等于点到点的距离的，即，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为或．