（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练平面向量专题：奔驰定理解三角形面积比值问题（2份，原卷版+解析版）

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1、奔驰定理：O是内的一点，且x∙OA+y∙OB+z∙OC=0，
则S∆BOC:S∆COA:S△AOB=x:y:z
2、证明过程：已知O是内的一点，∆BOC，∆COA，∆AOB的面积分别为SA，SB，SC，
求证：SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0.
延长OA与BC边相交于点D，
则BDDC=S∆ABDS∆ACD=S∆BODS∆COD=S∆ABD−S∆BODS∆ACD−S∆COD=SCSB，
OD=DCBCOB+BDBCOC=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
∵ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SASB+SC，
∴OD=−SASB+SCOA，
∴−SASB+SCOA=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
所以SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0.
（3）奔驰定理推论：x∙OA+y∙OB+z∙OC=0，则
= 1 \* GB3 ①S∆BOC:S∆COA:S△AOB=x:y:z
= 2 \* GB3 ②S∆BOCS∆ABC=xx+y+z，S∆AOCS∆ABC=yx+y+z，S∆AOBS∆ABC=zx+y+z.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
（4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
题型一 直接奔驰定理求面积比
【例1】设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式1-1】点O是内一点，且满足．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【变式1-3】点P菱形ABCD内部一点，若，则菱形ABCD的面积与的面积的比为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
题型二 变形使用奔驰定理求面积比
【例2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
【变式2-1】已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（ ）
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
【变式2-2】设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
题型三 奔驰定理的综合应用
【例3】奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则( )
A． B． C． D．
【变式3-1】奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【变式3-3】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（ ）
A．O为的外心 B．
C． D．