（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练解三角形专题：三角形中的最值范围问题（2份，原卷版+解析版）

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一、求最值范围问题的预备知识：
1、正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（其中R为∆ABC外接圆的半径）
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。
2、余弦定理：a2=b2+c2−2bccsA
3、三角形的面积公式：
（1）S=12a∙h（a为三角形的底，h为对应的高）
（2）S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，
4、三角形内角和定理：A+B+C=π
（1）正余弦关系式：sinA=sinπ−B+C=sin⁡(B+C)（其余两角也有相同结论）
csA=csπ−B+C=−cs⁡(B+C)
（2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。
5、两角和与差的正、余弦公式：
sinA±B=sinAcsB±csAsinB
csA±B=csAcsB∓sinAsinB
6、降幂公式：
sin2A=1−cs2A2 cs2A=1+COS2A2
7、辅助角公式：asinA+bsinA=a2+b2sin⁡(A+φ)，其中tanφ=ba
8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值
二、三角形中的最值范围问题处理方法
法一：利用基本不等式求最值-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
法二：转为三角函数求最值-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
三、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
题型一 求角度或三角值的最值范围
【例1】设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由以及正弦定理得，所以
即，又B为钝角，所以，故
于是
，因为，所以
由此，即的取值范围是故选：A
【变式1-1】在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由和余弦定理得，又，∴．
因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．
，
∵，即，所以，
则，因此，的取值范围是．故选：A
【变式1-2】已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角形的面积公式可得，可得，
，由余弦定理可得，
由，可得，解得，，
，可得，则，
所以，
，
，，则，
因此，，故选：B.
【变式1-3】在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，
所以，，由正弦定理得，所以
，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
【变式1-4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
（1）若，且，求△ABC的面积；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，故，而，
所以，故.
（2）由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
【变式1-5】在锐角中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
整理得，故又，所以；
（2）由锐角知，得，
故
，
因为，得，所以.
【变式1-6】已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）及，
，化简得，
，又，.
（2）由（1）可得
为锐角三角形，且，，.
，，故的取值范围为.
题型二 求边长或周长的最值范围
【例2】如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（ ）
A．2.5 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则设,则，
，，故选：C.
【变式2-1】在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，的最大值为： .故选：C.
方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，令 ，
则
，当时等号成立.的最大值为： .故选：C.
【变式2-2】（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,所以，
所以，，，，
所以的取值范围是，故选：A
【变式2-3】在锐角中，分别是角所对的边，且.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为中，即，
由正弦定理得，
所以，
又因为锐角，，，所以，.
（2）由正弦定理可得：
，
因为是锐角三角形，所以 ，解得，，
所以，所以.
【变式2-4】已知中，角所对的边分别是，向量，，且.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，即，
，，又，.
（2）由正弦定理得：，，，
；
，，，则，
，即周长的取值范围为.
题型三 求面积的最值范围
【例3】在中，内角的对边分别是，.
（1）求角的大小；
（2）若点满足，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以.
因为，
所以.
因为，所以.又因为，所以.
（2）因为，所以点D在线段上，且.
因为，
所以，即为的角平分线.
由（1）得，所以.
由，得，
即，得，当且仅当时，等号成立，
.故面积的最小值为.
【变式3-1】在四边形中，，，，设．
（1）当时，求线段的长度；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，在中，，，，
由正弦定理，得．
（2）在中，，，
由正弦定理，
在中，，，
此时
，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．
【变式3-2】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．
（1）求B和b的值；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1），b=2；（2）
【解析】（1）因为，所以，
，即，
因为，所以，又，所以，所以，
又的外接圆半径，所以由正弦定理得；
（2）由余弦定理得，
由基本不等式得（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
故面积的最大值为．
【变式3-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
（1）求角B；
（2）求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在锐角中，由正弦定理及得：，
而，则，
又，，因此，即，所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，有，
令，则，，由正弦定理得，
的面积
，
由得，，于是得，
所以面积的取值范围是.
【变式3-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）(解法一)因为，所以
则，即
因为，所以，因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得整理得.所以，
因为所以.
（2）因为，所以，.
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，所以.