（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练平面向量专题：极化恒等式解决向量数量积问题（2份，原卷版+解析版）

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一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4)．
2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
二、极化恒等式的作用和使用范围
1、极化恒等式的作用：
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。
2、极化恒等式的适用范围：
（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；
（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，
等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。
三、极化恒等式使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小
或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边
或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
题型一 求向量数量积的定值
【例1】向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【解析】由题设，，，.故选：D
【变式1-1】如图，在四边形中，，，为中点.，求的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，为中点，，根据极化恒等式可得：，，，
.故选：A.
【变式1-2】如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，，则=_______________．
【答案】-4
【解析】取MN中点E，由向量数量积的极化恒等式，
∴，∴，∴．
【变式1-3】在中，是边上的中点，且，，，，则__________．
【答案】1
【解析】，同理可得，
又，，所以，所以，，
.
题型二 求向量数量积的最值范围
【例2】在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，连接，取中点为，作图如下：
，
在三角形中，由余弦定理可得：，即，
则，故，显然当且仅当时，取得最小值，
故，的最小值为.
即的最小值为.故选：
【变式2-1】已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，因为正方形的边长为2，所以圆的半径为，如下图所示：
则，，所以，.
因为点为正方形四条边上的动点，所以，又，所以，故选：A.
【变式2-2】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史㤵久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取AB的中点O，连接MO，连接，分别过点，点作的垂线，垂足分别为，
由极化恒等式可得：，当点M与点F或点E重合时，取得最大值，易得四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，则，，取得最大值为，
所以的最大值为，故选：D.
【变式2-3】已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取OC中点D，由极化恒等式得
又，∴的最小值为．故选:C.
【变式2-4】在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________
【答案】
【解析】取中点，由正的面积为，，的高为，数形结合得，的最小值为的高，即，
所以，所以
.故答案为：
题型三 求参数及其他问题
【例3】设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取的中点D，
由极化恒等式可得：，
同理，，由于，
则，所以，
因为，D是的中点，于是.故选：D.
【变式3-1】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示,
设的中点为,则,两式平方相减得，所以（可由计划恒等是直接得出），即，所以,
由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D
【变式3-2】如图，在中，的内角平分线交于点，过作于点，则的值是____.
【答案】
【解析】取的中点，易得，
则，过作交延长线于，连接，
由角平分线定理可得，，则，
又，则，则，则，
即，
则，所以.
【变式3-3】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．
【答案】
【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，
依题意，，
因的最小值为3，则的最小值为2，因此，
在中，，，
在中，，，
所以.