（人教A版）必修第二册高一数学下册期末复习训练专题04 平面向量的综合应用（2份，原卷版+解析版）

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一、向量的有关概念
1．向量：
既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)．
2．向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量．如，等．
（3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=．
3．相等向量：
长度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．两向量与相等，记为．
4．零向量：
长度为零的向量叫零向量．零向量只有一个，其方向是任意的．
5．单位向量：
长度等于1个单位的向量．单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量．
6．共线向量：
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量．任一组共线向量都可以移到同一直线上．规定：与任一向量共线．
注：共线向量又称为平行向量．
7．相反向量：
长度相等且方向相反的向量．
二、向量的运算
1．运算定义
2．运算律
加法：
①(交换律)； ②(结合律)
实数与向量的乘积：
①； ②；③
两个向量的数量积：
①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·
3．运算性质及重要结论
(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言：
坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0．
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言：
坐标语言：设非零向量，则
(4)两个向量数量积的重要性质：
① 即 (求线段的长度)；②(垂直的判断)；
③ (求角度)．
例题分析
考点1 利用向量解决平面几何中的求值或最值问题
【例1】．已知O为坐标原点，向量＝（3csx，3sinx），＝（3csx，sinx），＝（，0），x∈（0，）．
（1）求证：（﹣）⊥；
（2）若△ABC是等腰三角形，求x的值．
解：（1）∵＝（0，2sinx），
∴，
∴（﹣）⊥．
（2）若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，
∴（2sinx）2＝（3csx﹣）2+sin2x，整理得：，
解得csx＝0，或csx＝，
∵x∈（0，），∴csx＝，x＝．
变式训练
【变1-1】．满足＜0的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形
B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形
D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
解：因为＜0，可得accs∠B＜0，
所以cs∠B＜0，
则∠B是钝角，
则△ABC是钝角三角形．
故选：C．
【变1-2】．点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（ ）
A．三角形的内心B．三角形的外心
C．三角形的重心D．三角形的垂心
解：∵；
∴
＝
＝
＝0；
∴；
同理，，；
∴O是△ABC三条高线的交点；
∴点O是△ABC的垂心．
故选：D．
【变1-3】（多选）．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（ ）
A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点
B．若，且λ＝μ＝1，则
C．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3
D．若，且，则λ，μ满足λ2+u2＝1
解：对于A，设AB的中点为D，则当λ＝μ时，有，
即得O，C，D三点共线，故直线OC过边AB的中点，故A正确；
对于B，由于且λ＝μ＝1时，，
故O为△ABC的外心和重心，故△ABC为等边三角形，
则∠BAO＝30°，由可得，
故，故B正确；
对于C，延长OA至A′，使OA′＝3OA，延长OB至B′，使OB′＝2OB，
连接A′B′，设其中点为E，连接OE并延长至C′，使EC′＝EO，
连接A′C′，B′C′，则四边形OA′C′B′是平行四边形，
所以，而λ＝2，μ＝3时，，
故，即C，O，C′三点共线，且，
根据同底等高三角形面积相等，则S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，
即△AOB与△AOC的面积之比为1：2，故C错误；
对于D，因为，且，
由得，，
所以，即λ2+μ2＝1，故D正确，
故选：ABD．
【变1-4】．已知△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的范围是 [﹣，4] ．
解：△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝4，∠BAC＝60°，
设PA＝x，x∈[0，4]，
则＝（）•＝＝x（4﹣x）×cs180°+2（4﹣x）×cs60°
＝x2﹣5x+4＝，
∵x∈[0，4]，
由二次函数的性质可知，当x＝时，有最小值﹣；
当x＝0时，有最大值4，
所求的范围是[﹣，4]．
故答案为：[﹣，4]
【变1-5】．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
解：在菱形ABCD中，∠BAD＝60，∴△ABD为正三角形，由＜ ＞＝60°，可得＜＞＝180°﹣60°＝120°．
∴＝（+）•＝+＝2×2×cs60°+1×2×cs120°＝2﹣1＝1，
故选：A．
【变1-6】．四边形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．﹣3
解：延长AD，BC交于E，
∵∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，
∴∠DCB＝90°，∠E＝60°，△ABE为等边三角形，
设CE＝x，
则DC＝x，DA＝4﹣2x，x∈（0，2），
＝3x2﹣6x＝3（x﹣1）2﹣3，
当x＝1时，的最小值为﹣3．
故选：D．
【变1-7】．四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OD，AC＝2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若•＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
解：∵OB＝2OD，∴，
则•＝，∴＝2，
又∵DE⊥AC，∴||2＝2，得||＝，
∴S△DAC＝×AC×DE＝＝，
又S△BAC＝2S△DAC＝2，
四边形ABCD的面积为．
故答案为：．
考点2 向量在物理中的简单应用
【例2】．已知＝（1，0），＝（0，1），一动点P从P0（﹣1，2）开始，沿着与向量的+相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|+|m/s．另一动点Q从Q0（﹣2，﹣1）开始，沿着与向量3+2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小|3+2|m/s，设P，Q在t＝0s时分别在P0，Q0处，问当PQ⊥P0Q0，所需的时间t为多少？
解：∵＝（1，0），＝（0，1），
∴，其一个单位向量为，，
∴3+2＝（3，2），其一个单位向量为，|3+2|＝，
由题意可得，P，Q的运动示意图，如图所示，
∵，
∴，
同理可得，
∵P0（﹣1，2），Q0（﹣2，﹣1），
∴P（t﹣1，t+2），Q（3t﹣2，2t﹣1），
∴，
∵PQ⊥P0Q0，
∴，即1﹣2t+9﹣3t＝0，解得t＝2，
∴当PQ⊥P0Q0，所需的时间t为2．
变式训练
【变2-1】．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为（ ）
A．20NB．C．10ND．
解：如图，∵，
∴||＝10×＝20N，
∵物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，
∴物体的重力大小为20N，
故选：A．
【变2-2】．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2km/h．一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250m的码头C处卸货．若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度是 km/h．
解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段AB，
设小货船航行速度为v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东2km/h，
AB＝250，BC＝250，在Rt△ABC中，有tan∠ACB＝＝，
所以∠ACB＝，∠CAB＝，
所以＜，＞＝+＝，＝﹣，
所以||＝|﹣|＝＝＝＝2，
所以小货船航行速度的大小为2km/h．
故答案为：2．
【变2-3】．如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为 405 N．（取重力加速度大小为g＝10m/
解：设两只胳膊的向上的合力为F1，则F1＝G，
由题意可得，F1＝＝G＝mg＝70×10
所以F＝≈405N．
故答案为：405
考点3 向量与解三角形综合问题
【例3】．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量＝（csA，sinA），＝（1，﹣1），且∥．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，asinB﹣csinA＝0，求△ABC的面积．
解：（1）已知，，
∵，
∴，得，
∵0＜A＜π，
∴．
（2）由asinB﹣csinA＝0，根据正弦定理得ab﹣ca＝0，即b＝c．
根据余弦定理得，
将b＝c代入得，解得3b3＝24，
即得，
．
变式训练
【变3-1】．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是为a，b，c，2ccsA＝bcsA+acsB．
（1）求A；
（2）若b＝8，c＝5，O为△ABC内切圆的圆心，，求λ+μ的值．
解：（1）在△ABC中，2ccsA＝bcsA+acsB，
由正弦定理得2sinCcsA＝sinBcsA+sinAcsB，
即2sinCcsA＝sin（A+B），又sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
所以2sinCcsA＝sinC，
而sinC＞0，
∴2csA＝1，得，
又0＜A＜π，所以．
（2）由（1）得，则，
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝64+25﹣40＝49，解得a＝7，
设内切圆的半径为r，则，
得，
∴．
又，
∴，
又，，
所以，
∴，得5λ+16μ①，
同理，得5λ+4μ②，
①②联立，解得，，所以．
【变3-2】．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6bcs2＝3b﹣2a+3c，D是AC边上一点，AD＝2DC，BD＝2．
（1）求csB；
（2）求 的最大值．
解：（1）因为6bcs2＝3b﹣2a+3c，
所以可化为6b×＝3b﹣2a+3c，可得3b+3bcsA＝3b﹣2a+3c，
由正弦定理可得3sinBcsA＝3sinC﹣2sinA，
在三角形ABC中，3sinBcsA＝3sin（A+B）﹣2sinA，
化简整理得：3sinAcsB＝2sinA，
因为A∈（0，π），sinA≠0，
所以csB＝．
（2）因为＝＝（）＝，
＝，
又因为BD＝2，
所以4＝，
所以＝9﹣（a）＝9﹣（4a2+c2），
又cs∠ADB+cs∠CDB＝0，
所以，
所以，
可得，可得4ac＝3[a2+c2﹣（c2+2a2﹣12）]，
所以4ac＝3[18﹣（c2+2a2）]＝54﹣（c2+4a2），
因为4ac≤（2a）2+c2，
所以54﹣（c2+4a2）≤4a2+c2，
可得54≤（4a2+c2），所以4a2+c2≥，
所以﹣（4a2+c2），
所以＝9﹣（4a2+c2）＝，
所以 的最大值．
【变3-3】．已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量，，设．
（Ⅰ）若f（A）＝2，求角A；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，求三角形ABC的面积．
解：（Ⅰ）
因为f（A）＝2，即，所以或（舍去）
（Ⅱ）由（I）可得A＝，
因为，则，
所以csB+csC＝2csA＝1，
又因为，
所以csB+cs（）＝＝1．
所以sin（B+）＝1，
因为B为三角形内角，所以
所以三角形ABC是等边三角形，由，
所以面积S＝＝．

实战演练
1．已知O是△ABC内一点，满足，则S△ABC：S△OBC＝（ ）
A．3：1B．1：3C．2：1D．1：2
解：根据题意，设BC的中点为D，则＝，
则+＝+＝，
若，则＝，
所以O是中线AD上靠近点D的三等分点，
即OD＝AD，则S△ABC：S△OBC＝3：1，
故选：A．
2．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，＝x+y，则x+y＝（ ）
A．B．C．D．1
解：根据题意，如图：设AD与BC交于点E，设BE＝xBC，则有＝x，
若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，则有S△BCD：S△ABC＝＝，
则DE＝AE，则有AD＝AE，即＝，
故S△ABD＝S△ABE＝S△ABC，
又由S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，即S△ABD：S△ABC＝5：（5+4+3）＝5：12，
则有＝，解可得x＝，即＝，
故＝＝（+）＝+×＝+＝+（﹣）＝+，
又由＝x+y，则x＝，y＝，故x+y＝+＝，
故选：A．
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，若，则点P与△ABC的位置关系是（ ）
A．P在AB边上B．P在AC边上
C．P在BC边上D．P在△ABC内部
解：根据题意，若，必有＝﹣，
变形可得：＝﹣2，则P在边AC上，
故选：B．
4．过△ABC的中线AD的中点E作直线PQ分别交AB、AC于P、Q两点，若，则＝（ ）
A．4B．C．3D．1
解：由D为BC的中点可知，＝＝＝＝，
∵，
设，
∴＝＝＝（1﹣λ）+，
∵，
∴＝（1﹣λ）m+
∵与不共线
∴，（1﹣λ）m＝，
∴．
故选：A．
5．已知平面向量与的夹角为30°，则的最大值为（ ）
A．B．2C．4D．8
解：根据题意，如图，设＝，＝2，则＝+2，
平面向量与的夹角为30°，则∠AOB＝30°，
过点A作AD⊥OB，交OB与点D，易得AD＝OAsin30°＝||，
又由AD≤AB，可得||≤2||，所以≤4，
所以的最大值为4．
故选：C．
6．已知P是△ABC所在平面内的一动点且满足＝λ（），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．重心B．内心C．外心D．垂心
解：根据题意，在△ABC中，由正弦定理可得＝，
设＝＝，则＝mλ（+），
则点P在△ABC中边BC的中线上，故点P一定经过△ABC的重心，
故选：A．
7．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则（ ）
A．﹣2B．2C．D．
解：∵，
∴＝＝①
∵，且
两边同时平方可得，
整理可得，②
①②联立可得，
故选：C．
8．平面内△ABC及一点O满足，则点O是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
解：平面内△ABC及一点O满足＝，可得•＝0，所以O在∠CAB的平分线上，
＝，可得：•＝0，所以O在∠ACB的平分线上，
则点O是△ABC的内心．
故选：C．
（多选）9．已知，是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．1
解：根据题意，设＝，＝，＝+＝+，
若，则＜，＞＝∠AOB＝60°，
又由，是平面内的两个单位向量，则∠BOE＝AOE＝30°，如图：
设＝t（+）＝t（+），过点C作CD⊥OB，垂足为D，连接AC，过点A作AM⊥OB，垂足为M，
则|﹣t（+）|＝|﹣|＝||，∠BOE＝30°，则|t（+）|＝||＝||，
则有|﹣t（+）|+|t（+）|＝||+||≥||＝，（当且仅当ACM三点共线时等号成立）
故|﹣t（+）|+|t（+）|的最小值为，
故选：CD．
10．如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（ ）
A．B．45C．D．
解：由题意得，函数f（x）的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，
则，
因为，故，
故＝＝．
故选：D．
11．设P为不等边锐角三角形ABC内一点，且满足5＝2+，则三角形PBC的面积与三角形ABC的面积之比为 ．
解：解法一：因为5＝2+，所以5＝2（﹣）+（﹣），
整理得，2+2+＝，
由奔驰定理知，S△PBC•+S△PAC•+S△PAB•＝，
所以＝＝．
解法二：由5＝2+，知＝+，
根据等和线，可知点P在的倍线上，
设△ABC的高为h，则△PBC的高为h，
所以＝＝．
故答案为：．
12．已知向量，，满足++＝，||＝2，与﹣所成的角为120°，则当t∈R时，的取值范围是 ．
解：如图所示，
记向量，＝，﹣＝，则
由题意结合向量的加减运算可得AC＝2，∠AOB＝120°
在结合数乘的意义可得：＝＝＝＝||，
代表点A到直线BD上动点的距离，
而当t变化时，点F在直线BD上运动，当F运动到图中的点E处，
此时AE⊥BD，使点A到直线BD上动点的距离最小，
在RT△AOE中，AO＝，AE＝AOsin∠AOB＝，故≥AE＝，
故答案为：
13．已知△ABC是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是△ABC的重心．若，则＝ 6R2 ．
解：∵，
∴＝
＝+＝．
故答案为：6R2．
14．等腰三角形△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，则△ABC面积为 ，点M是△ABC外接圆上任意一点，则•最大值为 3+3 ．
解：等腰三角形△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AB⊥AD，BD＝3，CD＝1，可得：AB2＝BD2﹣AD2，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DCcs∠ADC
＝AD2+1+2AD•1•，9﹣AD2＝AD2+1+2AD•1•＝1+，
可得AD＝，则AB＝AC＝，A到BC的距离为：＝，
∴△ABC面积为：＝2．
设△ABC的外心即BC中点为O，外接圆的半径为：R，2R＝＝＝3，R＝，cs∠BAO＝＝．
由平面向量的线性运算知，，
所以 •＝＝+，
由图可知：＝||•||cs∠BAO＝＝3．
当时，（）max＝＝3，
则•最大值为3+3．
故答案为：2；3+3．
15．在平面直角坐标系xOy中，异于原点的A、B、C三点满足OA2+2OB2+3OC2＝6，则△ABC面积的最大值为
解：如图，以A为坐标原点建系，设AB＝a，O（x，y），
∵OA2+2OB2+3OC2＝6，
∴OA2+2OB2＝6﹣3OC2，
∴x2+y2+2[（x﹣a）2+y2]＝6﹣3OC2，化简得，
所以y的最大值为，
所以＝，
所以＝，当且仅当“”时取等号，经验证成立．
故答案为：．
16．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ＝60°，P（2，﹣1），则||＝；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则；
③若P（x，y），λ∈R，则λ；
④若，，则；
⑤若θ＝60°，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy﹣1＝0．
其中所有正确的结论的序号是 ①②③⑤ ．
解：①∵θ＝60°，P（2，﹣1），
∴||＝＝＝，故①正确；
②∵P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴＝+＝（x1+x2）+（y1+y2），
∴，故②正确；
③∵P（x，y），λ∈R，
∴＝＝，
∴λ，故③正确；
④＝（）•（）
＝x1x2+y1y2+（x1x2+y1y2）（），故④错误；
⑤若θ＝600，以O为圆心，1为半径的圆满足||＝1，
设P（x，y），则＝1，
化为x2+y2+2xycs60°＝1，
∴x2+y2+xy﹣1＝0．
故满足条件的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy﹣1＝0．故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
17．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点（AF＝AD，BG＝BC）．设＝，＝．
（Ⅰ）用，表示，．
（Ⅱ）如果||＝||，用向量的方法证明：EF⊥EG．
解：（Ⅰ）根据题意，点E是AB的中点，F，G是AD，BC的三等分点，且AF＝AD，BG＝BC，
＝﹣＝﹣＝﹣，
＝+＝+，
（Ⅱ）证明：根据题意，若||＝||，则•＝（﹣）•（+）＝||2﹣||2＝0，
则⊥，必有EF⊥EG．
18．已知△ABC中，过重心G的直线PQ交线段AB于P，交线段AC于Q，连结AG并延长交BC于点D，设的面积为S1，△ABC的面积为S2，．
（1）用表示，并证明为定值；
（2）求的取值范围．
解：（1）根据题意，；
∵，P，G，Q 三点共线，则存在 λ，使得 ，
即，即 ，
∴，整理得 3mn＝m+n，所以 为定值；
（2）根据题意，由（1），
∴，
∵，
∴，∴，
则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 ，
∴ 的取值范围为 ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，且AD＝2DC，BD＝2，求△ABC面积的最大值．
解：（1）由正弦定理及，知sinBcsC＝sinA+sinCsinB，
因为sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以0＝csBsinC+sinCsinB，
因为sinC≠0，所以tanB＝＝﹣，
因为B∈（0，π），所以B＝．
（2）因为AD＝2DC，
所以＝+＝+＝+（﹣）＝+，
所以||2＝（+）2＝++•，
即4＝c2+a2+accs∠ABC＝c2+a2+ac•（﹣），
化简得c2+4a2﹣2ac＝36≥2•2ac﹣2ac＝2ac，
所以ac≤18，当且仅当c＝2a＝6时，等号成立，
所以S＝acsin∠ABC≤×18×＝，
故△ABC面积的最大值为．
20．已知向量＝（cs．﹣sin），＝（cs，sin）
（1）设函数f（x）＝•，求f（x）的单调递增区间；
（2）设函数g（x）＝•﹣2λ|+|，若g（x）的最小值是﹣，求实数λ的值．
解：（1）f（x）＝•＝cscs﹣sinsin＝cs2x，
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ（k∈Z），
所以，f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]（k∈Z）；
（2）因为|+|2＝+2•+＝2+2cs2x，
所以，|+|＝2|csx|，
所以，g（x）＝•﹣2λ|+|＝cs2x﹣4λ|csx|＝2cs2x﹣4λ|csx|﹣1，
令t＝|csx|，则t∈[0，1]，
则h（t）＝2t2﹣4λt﹣1＝2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2，t∈[0，1]．
当λ＜0时，h（t）在区间[0，1]上单调递增，
由h（t）min＝h（0）＝﹣1≠﹣；
当0≤λ≤1时，h（t）min＝h（λ）＝﹣1﹣2λ2＝﹣，解得λ＝；
当λ＞1时，h（t）在区间[0，1]上单调递减，
由h（t）min＝h（1）＝1﹣4λ＝﹣得：λ＝＜1，舍去；
综上所述，λ＝．
21．已知＝（f（x），sin（2x+φ）），＝（1，2），且．
（1）求f（x）的解析式，若φ＝﹣，求f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）若φ＝，求g（x）＝﹣f2（x）+asin2x+1，a∈R的最小值h（a）．
解：（1）∵＝（f（x），sin（2x+φ）），＝（1，2），且，
∴2f（x）＝sin（2x+φ），若φ＝﹣，则f（x）＝sin（2x﹣），
∴﹣+2kπ，k∈Z，
∴﹣+kπ≤x≤，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，]，[]；
（2）∵φ＝，∴f（x）＝，
g（x）＝﹣f2（x）+asin2x+1＝﹣
＝﹣＝，a∈R，
令t＝sin2x∈[﹣1，1]，∴y＝，
对称轴为t＝﹣2a，
①当﹣2a≤﹣1，即a时，函数在[﹣1，1]上单调递增，则t＝﹣1时，h（a）＝1﹣a，
②﹣2a≥1时，即a≤﹣时，函数在[﹣1，1]上单调递减，
则t＝1时，h（a）＝1+a，
③当﹣1＜﹣2a＜1，即﹣时，则t＝﹣2a时，h（a）＝﹣a2+，
综上：h（a）＝．运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+=
=
记=(x1，y1)，=(x2，y2)
则=(x1+x2，y1+y2)
=(x2-x1，y2-y1)
+=
实数与向量的乘积
记=(x，y)
则
两个向量的数量积
记
则=x1x2+y1y2