（人教A版）必修二高一数学下学期第一次月考模拟试卷（平面向量+解三角形+复数）（2份，原卷版+解析版）

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1．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；
对于C，，共线，不可以作为基底，C错误；
对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.故选：B.
2．设，为平面内任意两个非零向量,则下列不正确的是（ ）
A．的充要条件是存在唯一实数λ，使得
B．⊥的充要条件是
C．的充要条件是
D．的充要条件是
【答案】C
【解析】两个非零向量，，的充要条件是存在唯一实数，使，A正确；
，则，即，B正确；当与共线，但是方向相反时，，C错误；设两个非零向量，夹角为，，即，或，即，D正确.故选：C.
3．设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】复数，故，对应点的坐标为，位于第二象限.故选：B.
4．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，又
∴.故选：B.
5．已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设向量 的夹角为，，因为为单位向量，，因为，所以，所以.因为，所以.故选：B
6．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．2海里B．3海里C．4海里D．5海里
【答案】A
【解析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知，，．
由余弦定理得，
所以，化简得，解得或（舍去），
所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故选：A
7．已知复数，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题，则，
所以.故选：D.
8．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；
若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；
例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；
时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．
二、多项选择题：
9．已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设，由，，所以，所以A正确；则，，所以B不正确；由，所以C正确；由不一定是实数，所以D不一定正确.
故选：AC
10．在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，故选：BCD．
11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【解析】因为，所以由正弦定理，得,
即 ，因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,
故 ,解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即 ，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，所以，因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，即，所以，所以，又因为，所以，， ，，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.
三、填空题：
12．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为.故答案为：
13．已知，若满足且，则___________.
【答案】
【解析】设，，
由于且，所以，
解得，所以.故答案为：
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则csB的值为___________.
【答案】
【解析】依题意，，，
，
，由正弦定理得，
所以.故答案为：
四．解答题：
15．已知复数
（1）求复数的共轭复数；
（2）若复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），所以复数的共轭复数为.
（2）由（1），
所以复数对应点坐标为，它在第三象限，
则，解得 解得或，
综上所述，实数的取值范围为.
16．如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.
（1）试用，表示，；
（2）求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1），
.
（2），，
.
17.在中，角所对的边分别为，且满足：向量与量共线.
（1）求角；
（2）三角形的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）向量与量共线，，
由正弦定理边化角得，
即，
，，
，，
，；
（2）有余弦定理，及得：
，
，又由（1）得，三角形的面积.
18．在平面四边形ABCD中，，，.
（1）若△ABC的面积为，求AC；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
19．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知及正弦定理，得．
∵，∴．化简，得．
∵，∴．∵，∴．
（2）由已知及正弦定理，得．
即．从而，
因为，所以，化简得，
因为，可得，于是，
当时，的最大值为.