（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题03 平面向量的基本定理及坐标运算（2份，原卷版+解析版）

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1.平面向量的基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y），其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设，则
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设，则
4.平面向量共线的坐标表示
设则
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量，θ为向量的夹角.
考点一 平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理的理解
例1．设、是两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据平面向量的基底的概念，判断各选项中的向量是否共线，即可得答案.
【详解】对于A,，和没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；
对于B，和，没有倍数关系，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；
对于C，，二者是共线向量，不能作为平面向量的一组基底；
对于D，和，二者不共线，可作为平面向量的一组基底，正确；故选：C
练习1．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.
2.用基底表示向量
例2．如图，、分别是和的中点，已知，，则向量________．（用表示向量）．
【答案】
【分析】结合图象，根据向量减的几何意义，可推得，.然后根据中点，即可得出答案.
【详解】因为，.又、分别是和的中点，所以，，所以，.故答案为：.
练习1.在中，是的中点，设，，请写出一个与向量共线的一个向量__________.（用平面向量、表示）.
【答案】（答案不唯一）
【分析】将用平面向量、表示，结合共线向量的基本定理可得出结果.
【详解】由已知，故与向量共线的一个向量可以是.故答案为：（答案不唯一）.
练习2.在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量.
【答案】；
【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解.
【详解】∵A是的中点，则，
故， ，故.
3.利用平面向量基本定理求参数
例3．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理，用表示即可得答案.
【详解】解：如图，因为点为的中点，，
所以，，
，
所以，即，解得所以，的值为.故选：B
练习1.如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由三点共线，求出的值.
【详解】是的中点，，
，
，三点共线，
，即，解得，故选：B．
练习2.如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
(1)用表示向量；
(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.
【答案】(1).(2)
【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得．
【详解】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，所以＝＝()，
因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.
又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.
考点二 平面向量的坐标运算
1.向量加减数乘运算
例4．已知向量，若满足，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将带入等式中化简即可求得结果.
【详解】解：因为，所以，将代入有:.
故选：A
练习1．（多选）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.
【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确；
，，故C正确，D不正确．故选：AC
练习2．已知平面上三点的坐标分别为求点的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
【答案】或或
【分析】分平行四边形为，，三种情况考虑，设出点坐标，写出相等向量，计算即可.
【详解】解：设点，当平行四边形为时，有,
因为，所以，解得，即；
当平行四边形为时，有,
因为，所以，解得，即；
当平行四边形为时，有,
因为，所以，解得，即，
故点的坐标为或或.
2.向量的共线坐标运算
例5．已知向量，，且与平行，则______．
【答案】
【分析】先求出，的坐标，进而根据向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，所以，，因为与平行，所以，解得，故答案为：
练习1.在平面直角坐标系中，，，，若三点共线，则正数______．
【答案】11
【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由题意可得 ，因为三点共线，所以，
进而解之得 或因为 ，所以 ，
故答案为：
练习2.若，，三点不能构成三角形，则t=______．
【答案】
【分析】由题设知三点共线，结合且的坐标表示列方程组求参数即可.
【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.故答案为：
考点三 平面向量的数量积坐标表示
1.向量的数量积运算
例6．已知，若，则等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以. 故选：C
练习1.已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积及线性运算的坐标表示计算即可.
【详解】因为，，，所以，，所以，，，，则ACD错误，B正确.故选：B.
练习2.若向量，，且，共线，则______．
【答案】
【分析】根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，共线，所以，解得：，所以，，
所以，故答案为：.
2.向量垂直
例7．已知，若非零向量满足，则（ ）
A．B．10C．3D．
【答案】A
【分析】设出的坐标，根据已知条件列方程，求得，进而求得.
【详解】设，则，，则，
.故选：A
练习1已知点，那么下面四个结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意根据两个向量平行、垂直的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：，，，，，，，，对于与，由，则与不平行，故选项A错误；
由，则与不垂直，故选项B错误；
对于与，由，则与不平行，故选项C错误；
由，可得，即，故选项D正确.故选：D．
练习2.已知向量，.若，则实数的值为______.
【答案】
【分析】根据两个向量垂直的坐标公式计算求解即可.
【详解】因为，,所以，
又因为,所以，所以.
故答案为: .
3.向量的模
例8．与向量共线的单位向量是_________．
【答案】或
【分析】利用与共线的单位向量为或求解即可.
【详解】因为，所以，所以与向量共线的单位向量为
或，故答案为：或.
练习1.已知向量，，若，则______．
【答案】
【分析】求出向量、的坐标，利用平面向量的模长公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为，，则，，因为，则，解得.故答案为：.
练习2.已知向量，若，则__________.
【答案】3
【分析】求出，利用模长公式列出方程，求出.
【详解】因为，所以，解得:.故答案为：3
练习3.设，，（其中O为坐标原点），则的面积为______．
【答案】5
【分析】根据向量的坐标求出向量的模，发现向量的模之间满足勾股定理即可进一步得解.
【详解】，所以，所以，
同理，，所以，
所以为直角三角形，所以，故答案为：5.
4.向量的夹角
例9．已知向量，，则（ ）
A．7B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求.
【详解】由已知，得，则为锐角，
所以，所以.故选：A.
练习1.单位向量与的夹角为60°，则______．
【答案】或
【分析】设，然后根据夹角公式及模长公式列方程组求解即可.
【详解】设，则，解得或
∴与成60°的单位向量是或.
故答案为：或.
练习2.若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.
【详解】解：由，得．又与的夹角为钝角，
∴，得，若，则，即．当时，与共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为，故答案为：．
练习3.已知向量，，，，则___________．
【答案】
【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为向量，，，所以，因为，
所以有，故答案为：
5.向量的投影
例10．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：C.
练习1.已知向量，，.若在方向上投影向量模长为，则实数为（ ）
A．-2B．-1C．±1D．±2
【答案】C
【分析】先将化简，然后利用投影向量模长公式列出方程即可求解.
【详解】由题意可知：，因为在方向上投影向量模长为，
所以，故选：C．
练习2.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】因为，，所以向量在方向的投影向量为.
故答案为：
一、单选题
1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断每个选项中的两向量是否具有倍数关系，从而判断两向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，
对于A， 和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；
对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；
对于C，因为，即和共线，不能作为基底；
对于D，，故和没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一组基底；
故选：C
2．如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量共线定理与线性运算，从两个不同的角度表示出，从而得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】，
，同理：
，因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，
所以，解得，所以，即为.故选：A.
3．已知向量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最后根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，所以， ，
又，所以，解得，
所以，则.故选：A
4．设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.
【详解】对于AB项，若时，，不满足构成基向量的条件，所以AB都错误；
对于D项，若时，不满足构成基向量的条件，所以D错误；
对于C项，因为，又因为恒成立，说明与不共线，复合构成基向量的条件，所以C正确.故选：C
5．已知向量，，若与方向相反，则（ ）
A．54B．48C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到，再求即可.
【详解】向量，，若与方向相反，所以，解得.
所以，.故选：D
6．已知，．若向量满足且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算及向量平行垂直的坐标表示，联立方程即可得解.
【详解】设，则，，所以由与得，解得，故.故选：D.
7．已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据可得的坐标，再结合是的中点，即可求得点的坐标.
【详解】设，则，，由，则，解得，，即，设，因为是的中点，所以，解得，，即.故选：A.
8．已知，，是一次函数图像上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据平面向量线性运算的坐标表示求出，再根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.
【详解】设，则，由，，
得，
则，当时，取得最小值.
故选：C.
9．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的．令，下面说法错误的是（ ）
A．若与共线，则
B．
C．对任意的,,
D．
【答案】B
【分析】根据给出的运算“⊙”的新定义，结合已知的向量的数量积公式及模长公式逐项判断即可.
【详解】若与共线，则有，故A正确；
，而，，故选项B错误；
对任意的，，又，，故C正确；，
又，故D正确.故选：B.
二、多选题
10．设向量，，则（ ）
A．B．与的夹角为C．D．
【答案】AD
【分析】利用向量的坐标即可计算向量的模长，向量夹角，利用向量坐标与空间位置的关系即可判断出两向量位置关系.
【详解】，，故，A正确；且，故与的夹角为，B错误；，由此知：不存在实数λ使成立，C错误；，D正确.故选：AD
11．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）.
A．的最小值为
B．的最小值为
C．当取得最小值时，与的夹角的余弦值为
D．当取得最小值时，与的夹角的余弦值为
【答案】BD
【分析】建立如图所示的坐标系，求出，再利用函数求的最小值，求与的夹角的余弦值.
【详解】解：依题意，建立如图所示的坐标系，

则，，.
，
当且仅当时取“＝”，即取得最小值.故选项B正确.此时，，此时与所成角的余弦值为. 故选项D正确.故选：BD
三、填空题
12．如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______.
【答案】
【分析】根据题意可知,,根据平面向量基本定理,将用线性表示,根据两个向量相等即可得的值,进而得出结果.
【详解】解:由题知点F为线段BD上的一个三等分点,所以,
所以
,
因为不共线,所以,故.故答案为:
13．已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，分析、的关系，利用特殊值法可得答案.
【详解】根据题意，向量，且，则有，即，
当时，，则.故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
14．设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；
（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与向量反向共线求解.
【详解】（1）由已知，所以，
所以，即方向的单位向量为；
（2）由已知，，所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量不与向量反向共线，设，则，解得，从而，
解得.
15．已知的顶点分别为，，，BC边上的高为AD．求及点D的坐标．
【答案】的坐标为，点的坐标为．
【分析】设出，表示出、、坐标，根据已知可得、，根据坐标运算得到，解出即可求出点坐标，进而得到的坐标.
【详解】设，则，，.
由已知可得，，所以，即，整理可得，.
又在上，所以，即，整理可得，.
联立，解得，所以，所以.
所以，的坐标为，点的坐标为．
数量积
模
夹角
两非零向量的充要条件
考点一
平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理的理解
2.用基底表示向量
3.利用平面向量基本定理求参数
考点二
平面向量的坐标运算
1.向量加减数乘运算
2.向量的共线坐标运算
考点三
平面向量的数量积坐标表示
1.向量的数量积运算
2.向量垂直
3.向量的模
4.向量的夹角
5.向量的投影