初中人教版（2024）第十七章 因式分解17.2 用公式法分解因式课文内容课件ppt

这是一份初中人教版（2024）第十七章 因式分解17.2 用公式法分解因式课文内容课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了学习目标，什么叫分解因式，提公因式法，平方差公式，复习导入，1x2+y2，2x2-y2，3-x2-y2，-x2+y2，y2-x2等内容，欢迎下载使用。
1.理解平方差公式的特点.（重点）2.能熟练地运用平方差公式分解因式.（难点）
2.已学过哪一种分解因式的方法?
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
3.还记得前面学过的乘法公式吗？
(a+b)(a-b)=a²-b²
多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
两数是平方，减号在中央．
(x+5y)(x-5y)
例1 分解因式：(1)4x2 － 9;(2) a2 －25b 2.
分析： 在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 所以4 x2 － 9 = (2 x) 2 －3 2 ，即可用平方差公式分解因式；在(2)中，25b 2= (5 b) 2，所以a2 －25b 2= a 2 －(5 b) 2，即可用平方差公式分解因式.
解：(1) 4x2 － 9 = (2 x )2 － 3 2 = (2x ＋ 3)(2x － 3)；(2) a2 －25b 2 = a 2 －(5 b) 2 = (a ＋5 b)(a －5 b).
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
例2 分解因式：(1)x2 －y4 ;(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
分析： 在(1)中， y4 = (y2) 2 , 所以x2 －y4 = x 2 － (y2) 2 ，即可用平方差公式分解因式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = a， x ＋ q = b ，则原式化为a 2 － b 2,即可用平方差公式分解因式.
解:(1) x2－y4 = x2－(y2)2 =(x＋y2)(x－y2)；
(2) (x＋p)2－(x＋q) 2 =[(x＋p)+(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] =(2x＋p＋q)(p－q).
1.分解因式16－x2的结果为(　　)A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2
2.下列因式分解正确的是(　　)A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
3.将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)A．a(a－1) B．a(a－2)C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
4.若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
5.(1)已知x－2y＝3，2x＋4y＝5，求整式x2－4y2的值．
(2)已知|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0，求a2－b2的值．
解：∵|a－b－3|＋(a＋b－2)2＝0， ∴a－b＝3，a＋b＝2. ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×3＝6.
(3)已知m，n互为相反数，且(m＋2)2－(n＋2)2＝4，求m，n的值．
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
17.2 用公式法分解因式第2课时 运用完全平方公式分解因式
1.理解完全平方式的概念．2.探索并掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法，体会 转化思想．（重难点）
1.因式分解：2.我们已经学过哪些因式分解的方法?
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
(1)提公因式法(2)平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
（2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一；
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换，就得到
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
a²+2ab+b²＝(a＋b)²，a²-2ab+b²＝(a -b)².
例1 分解因式：(1)x2 ＋ 4x + 4; (2)16x2 - 24x ＋ 9.
分析：在(1)中，4= 2 2 , 4x = 2 • x • 2, 所以 x2 ＋ 4x ＋ 4是一个完全平方式，即x2 ＋ 4x ＋ 4 = x 2 ＋ 2 • x • 2 ＋ 22.
在(2)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2 • 4x • 3，所以 16x2 - 24x ＋ 9是一个完全平方式.
a2 ＋2 • a • b＋ b2
(1) x2 ＋ 4x ＋ 4 = x2 ＋ 2 • x • 2 ＋ 22 =(x ＋ 2) 2;(2) 16x2 - 24x ＋ 9 = (4x) 2 － 2 • 4x • 3 ＋ 32 = (4x － 3) 2.
例2 分解因式：(1)(a+b)2-12(a+b)+36; (2)-x2+4xy-4y2.
分析：在(1)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36;对于（2），可通过添括号将原式写成 -(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式.
(1) (a+b)2-12(a+b)+36 = (a+b)2-2•(a+b) •6+62 = (a+b-6)2;(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2 = － (x2 － 4xy ＋ 4y2 ) = －[x2 － 2 • x • 2y ＋ (2 y) 2] = － (x － 2y) 2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差公式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法.
例3 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
1.已知x2＋16x＋k是两数(和)差的平方式，则常数k等于(　　)A．64 B．48 C．32 D．16
2.已知4x2＋mx＋36是两数(和)差的平方式，则m的值为(　　)A．8 B．±8C．24 D．±24
3.把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　)A．(x－3)2 B．(x－9)2C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　)A．a2＋b2B．a＋bC．a－bD．a2－b2
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.
(2)原式=[2(2a+b)]² － 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2;
(2)原式=20142-2×2014×2013+20132
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2)20142-2014×4026+20132.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
两数(和)差的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
17.2 用公式法分解因式第3课时 综合运用提公因式法和公式法分解因式
1. 综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解；（重点）2. 灵活应用各种方法分解因式.（难点）
1.提取公因式法分解因式：
2.平方差公式分解因式：
a²－b²＝(a＋b)(a－b)
3.完全平方公式分解因式：
a²±2ab+b²＝(a±b)²
pa+pb+pc = p(a+b+c).
例1 分解因式：(1)x4-y4; (2)a3b-ab.
分析：在(1)中，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，可用公式法分解因式;对于（2），a3b-ab的两项有公因式ab,可以先提公因式，再进一步分解因式.
(1) x4-y4 = (x2+y2)(x2-y2)
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(2) a3b-ab = ab(a2 -1)
= (x2+y2)(x+y)(x-y);
= ab(a +1)(a -1) .
例2 分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)-ax2+2a2x-a3.
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.
解: (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)-ax2+2a2x-a3 =-a（x2-2ax+a2） =-a（x-a）2.
例3 因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
方法总结：分解因式时，有公因式时先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.
例4 因式分解：(1)(x+4)(x－1)－3x； (2)a2－b(b＋4)－4.
解：(1)原式＝x2＋3x－4－3x＝x2－4
＝(x＋2)(x－2)；
(2)原式＝a2－b2－4b－4＝a2－(b2＋4b＋4)
＝(a＋b＋2)(a－b－2).
方法总结：分解因式时，可先将式子进行化简后再进行因式分解.
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________．
＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
5.因式分解：(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9； (2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)＝(x＋4y)2(x－4y)2.
＝a(a2－1)－2b(a2－1)＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(3)a(a2－1)＋2b(1－a2)； (4)(x－y)2＋2(x－y)＋1.
6.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，