重难点2-2 指对幂比较大小6大题型-高考数学专练（新高考专用）

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重难点2-2 指对幂比较大小6大题型

函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。

比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。


【题型1 利用单调性比较大小】
【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为以及是上的单调减函数，
故可得，，即，；
又因为，
而是上的单调增函数，则，即.
故.故选：D.


【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为在R上为减函数，所以，
因为在上为增函数，所以，所以，
所以，故选：D.


【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
即得得，
因为是上的增函数，
比较的大小关系即是，的大小关系 ，
同时取15次幂，
因为幂函数在上是单调递增的，比较即可，
因为 所以
即，即得.故选:.


【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．故选：C


【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，定义域关于原点对称，
，所以为上的偶函数，
当时，，设，
则，，，
所以即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，又因为为偶函数，
所以在上单调递增，
又因为，，
又因为，
因为，，所以，
所以，即，所以，
所以，即.故选：D.


【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，而是增函数，所以，即，故A正确；
对于B，根据指数函数为单调递减可知，，
又由幂函数为单调递增可知，
所以，故B正确；
对于C，由换底公式可知，
根据对数函数单调性可知， ，
所以，故C错误；
对于D，由指数函数单调性可知，
所以，故D正确；故选：ABD.


【题型2 作差作商法比较大小】
【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
最大，
，，
，故选：B


【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若，，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，只需比较的大小，
而，
综上.故选：A


【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.故选：A


【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知，，，则、、这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
因为
，
所以，综上：.故选：C.


【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对，
因为，即，
所以，即；
对，又，令，则，
所以当时，，当时，，
所以，即，当且仅当时取等号，所以，
令，则，
所以当时，所以在上单调递增，显然，
又，即，即，
所以，即.故选：C


【题型3 中间值/估值法比较大小】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据指数函数单调性和值域，在上递减，
结合指数函数的值域可知， ；
根据对数函数的单调性，在上递增，
则，在上递减，
故，即，C选项正确.故选：C


【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，即：，
又，所以；
，
，，所以：.故选：C.


【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的单调性可得，，
根据对数函数的单调性可得，所以，故选：D.


【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对：在R上单调递增，则，即；
对：，在上单调递增，
则，即；
对：在上单调递减，则，即；
综上所述：.故选：D.


【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在R上单调递增，且，
∴，则，
又∵，且在R上单调递增，
∴，即，故.故选：C.


【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，，
所以.故选：C


【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知，，，其中，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】因为，所以，，，且，
所以，故A错误；
因为，，即，故B错误，C正确；
因为，，即，故D正确.故选：CD.


【题型4 含变量比较大小】
【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
因为当时，，且是增函数，所以.故选:D.


【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以0<，且，
所以，，，所以.故选：D.


【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，当，，，，试比较，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
在上是增函数，
由时，知，，
，故选：D


【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，
则，，．
因为在上恒成立，
所以函数在上单调递减.
又因为，所以，且，
故.故选：C．


【题型5 构造函数比较大小】
【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为、、，由可得，由可得，
由可得，构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.故选：A.


【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数是定义在上的偶函数，当时（其中是的导函数），若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，又为定义在上的偶函数，则，
故为定义在上的奇函数；
又，由题可知，当时，，即在单调递增，
结合是上的奇函数可知，为上的单调增函数；
又，
又，，，
故.故选：B.


【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
由，，可得，则，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，从而，
所以，即，从而可知.
综上可得.故选：C


【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
因为，所以，
当时，等号成立，
当时，，所以
构造，则，当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
故，所以，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
令，则，所以，综上，故选：


【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
令，则，
令，则，
当时，，所以函数在上递增，
所以，即，所以函数在上递增，
所以，即，所以，
令，则，
令，则，
当时，，所以函数在上递增，
，
因为，
所以，所以，
所以当时，，即，
所以函数在上递减，所以，即，
所以，综上所述.故选：C.


【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设，则a，b，c大小关系是_______．
【答案】
【解析】令，，则，
令，得，即在上单调递增，
，∴，即，即，
令，则，
令得，即在单调递减，
因为，所以，即，
所以，即.所以.


【题型6 数形结合法比较大小】
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知，且是方程的两根，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为二次函数，开口向上，
因为是方程的两根，
故为图象与轴的两个交点横坐标，其中，
画出图象如下：

显然，故选：C


【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设函数为，而.

如图，的图象在的下方，而且随着的增大，
的图象与的图象越来越接近，
即当时，的值越来越大，所以有，.
方法二：构造函数，
则，，，
在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，
所以，，即.故选：B.


【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
故令，则，．
易知和均为上的增函数，故在为增函数．
∵，故由题可知，，即，则．
易知，，
作出函数与函数的图象，如图所示，

则两图象交点横坐标在内，即，
，．故选：B．


【变式6-3】（2023·全国·高三专题）已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
因为，所以，即，
所以，所以，
又递增，所以，即；，
在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，
又，所以，
又在上单调递增，且
所以，即；
综上可知：，故选：A



（建议用时：60分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习），，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题知,，，
，
∵，
∴，故选：C．
2．（2022·四川资阳·统考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
当，，此时单调递增，
当，，此时单调递减，
所以，
所以，即，
所以；
又设，恒成立，
∴当， 单调递减，
当时，有，则，
所以，
综上可得．故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，又，所以.故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【答案】B
【解析】因，则，而，
又，即有，因此，B正确.故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在R上为单调递减函数，所以，
又因为在上为单调递增函数，所以，即，
所以，即，
又因为，
又因为，，即有
所以，即，
所以，即，
综上所述：.故选：A.
6．（2022·全国·高三）已知定义在上的函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为定义在上的函数，
对于，都有，
所以函数为上的奇函数，
当时，函数，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，
由对数函数的性质可知：，
所以，也即，
又因为，所以，则有，所以，故选：.
7．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造，，，
在时为减函数，
且，
所以在恒成立，
故在上单调递减，
所以，
即，所以，即.故选：.
8．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
∴在上单调递增，
，
令，则，
由得，递增；由得，递减，
，．
，故选：A．
9．（2022·四川南充·统考一模）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.
所以.
构造函数，
所以在区间上单调递增，所以，
即，也即.故选：A
10．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意：，
由单调递增，故只需比较的大小即可；
又
故选:B
11．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a 【答案】A
【解析】因为，
又因为，则，，得，
而，所以，．故选：A．
12．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则根据对数函数单调性知为减函数，
则，即；
设，单调递减，则，即；
设，则根据指数函数单调性可知，单调递减，
则，即.
综上可知，故选：D
13．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，
而，所以，所以，故选：.
14．（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，，所以.故选：C.
15．（2022·陕西渭南·统考一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，因此.故选：C.
16．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
最大，BC错；
，，故选：D
17．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然，，，
，
显然，有，，
于是得，即，所以.故选：B
18．（2022秋·四川成都·高三校考期中）已知函数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，满足，函数是奇函数，并且函数单调递减， ，，
设函数，令，，
当时，，单调递增，当，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
因为，所以，
因为函数单调递减，所以，即.故选：D
19．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知，， ，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，故；
又，，
因为，故，综合可得，故选：D.
20．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，∴，
而，∴，即，
因此.故选：C.