2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题10函数对称问题(学生版+解析)

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题型一：关于x轴对称
题型二：关于y轴对称
题型三：关于原点对称
题型四：关于y=x对称
【方法技巧总结】
函数对称问题转化为两图像交点问题.
【典型例题】
题型一：关于x轴对称
【例1】（2025·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知，方程在上有解，
即在上有解，
令，，则，
时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
又，，
则的最大值为，
所以的值域为，
即可得的取值范围是.
故选：C
【变式1-1】（2025·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
【变式1-2】（2025·安徽宣城·二模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数y＝的图象与函数y＝x2+2的图象关于x轴对称，
若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，
则函数的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，
即方程＝x2+2（x∈[，e]）有解，
即a＝x2+2﹣8lnx（x∈[，e]）有解，
令f（x）＝x2+2﹣，则f′（x），
当x∈[，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，e]时，f′（x）＞0，
故当x＝2时，f（x）取最小值，
由f（），f（e）＝，
故当x＝时，f（x）取最大值，
故a∈，
故选D．
题型二：关于y轴对称
【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数（e为自然对数的底数）的图象上存在四个关于y轴对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知方程在上有两个不同的实数根，
故，
即在上有两个不同的实数根.
令，则的图象与直线在上有两个不同的交点.
，
当时，，，所以，所以单调递减；
当时，，，所以，
所以单调递增.
所以当时，，
又，当时，，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
【变式2-1】（2025·高三·天津津南·阶段练习）已知函数若的图象上存在关于y轴对称的点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，存在实数，使得成立，
即存在实数，使得成立．
设，则．
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，，
所以函数的值域为．
于是当时，存在实数，使得成立，即函数的图象上存在关于y轴对称的点．
故选：C．
【变式2-2】（2025·高三·安徽宿州·期末）若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在函数的图象上取点，
则点关于轴的对称点为，且，其中，
由，可得，则，
所以，直线与函数在上的图象有两个交点，
因为，令可得，列表如下：
所以，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，，且，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
题型三：关于原点对称
【例3】（2025·山西·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称，
若函数的图象上存在点，
函数的图象上存在点，且关于原点对称，
则函数的图象与函数的图象有交点，
即方程有解，即有解，
令，则，当时，，
当时，，故当时，取最小值3，
由，，故当时，取最大值，故，
故选：A．
【变式3-1】（2025·高三·江苏苏州·阶段练习）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对是函数的“友好点对”，若定义域为R的函数存在“友好点对”，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意得在R上有解，令，则在上有解，再令，在上有解，按和分类讨论求在上的最小值，计算即可.根据题意得，在R上有解，即，
令，则在上有解，
即在上有解.
再令，当且仅当取等号，在上有解.
函数的对称轴为，
当时，函数在上递减，在上递增，，解得；
当时，函数在上递增，，解得.
综上：.
故选：B
【变式3-2】（2025·河北邯郸·一模）若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知，“伙伴点组”满足两点都在函数图象上，且两点关于坐标原点对称.
作出函数y＝－ln(－x)(x0)的图象，
使它与函数y＝kx－1(x>0)交点个数为2个即可.
设切点为(m，lnm)，y＝lnx的导数为y′＝，
得km－1＝lnm，k＝，解得m＝1，k＝1，
即函数y＝ln x(x>0)过(0，－1)点的切线斜率为1，
结合图象可知k∈(0，1)时有两个交点，符合题意.
故选：B.
题型四：关于y=x对称
【例4】（2025·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点.
故选：D.
【过关测试】
1．（2025·浙江·模拟预测）已知函数与的图象在上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得函数与的图象在上存在公共点，
即方程在上有解，
即方程在上有解．
令，
则，
所以当时，，随的变化情况如下表：
由上表可知，，又，
所以当时，，
故的取值范围是.
故选：A．
2．（2025·高三·贵州贵阳·阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意得到=-+3lnx,这个方程由两个不同的根，变量分离得到，是导函数的根，函数在，故函数先减后增，且 ； 则使得两个函数y=a和g(x)有两个交点只需，
即.
故答案为A．
3．（2025·广东广州·二模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在上有解，
即在上有解，
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最大值，
所以的值域为，
所以的取值范围是，
故选C.
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数关于轴对称的解析式为，
函数，两个函数的图象如图所示：
若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，
所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，
所以，
故选：B.
5．（2025·云南曲靖·二模）已知在函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可得在有解，即在有解，
所以在有解，
令，则，
令，则，
所以在单调递减，且，
所以当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
所以，故.
故选：D.
6．（2025·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】关于轴对称的函数为：，
函数与图像上存在关于轴对称的点，
即有解，即有解，
整理得：，
转化为和的图像存在交点，如图：
临界值在处取到（虚取），此时，
故当时和的图像存在交点，
故选：C.
7．（2025·浙江·模拟预测）已知，函数，则下列说法正确的是
A．若，则的图象上存在唯一一对关于原点对称的点
B．存在实数使得的图象上存在两对关于原点对称的点
C．不存在实数使得的图象上存在两对关于轴对称的点
D．若的图象上存在关于轴对称的点，则
【答案】A
【解析】先求出关于原点对称的解析式，
设，则，，
令，则，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，因此是单调递增的，
且，故当，有唯一零点，
故A正确B错误.
再求关于轴对称的解析式，
设，则，，
令，，恒成立，
故单调递增，，，
故存在使，即，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
当时，函数有零点，C错误；
取，
则，函数有零点，故D错误.
故选：A.
8．（2025·全国·一模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先求得关于轴对称的函数,则,整理可得在上有解,设,可转化问题为与的图象在上有交点,再利用导函数求得的范围,进而求解.由关于轴对称的函数为,
令,得,
则方程在上有解,
即方程在上有解,
设,
即可转化为与的图象在上有交点,
,
令，则在上恒成立，所以在上为增函数，∴，
即在上恒成立，
在上为增函数,
当时,则,
所以,
故选:D
9．（2025·高三·广西南宁·阶段练习）已知函数与函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，得方程在上有两个不同的解，即在上有两个不同的解，设，则，由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值，所以，
故选：D．
10．（2025·高三·福建厦门·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】与的图象上存在关于轴对称的点，
等价为在时，有解即可，
则，
即，在上有解即可，
设，，
作出两个函数的图象如图：
当时，，
当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，
当时，则，得，
综上，
即实数的取值范围是
故选：．
11．（多选题）（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（ ）
A．B．与有相同的值域
C．的最小正周期是6D．
【答案】ABD
【解析】由图象的变换知A项正确；
因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确；
由得①，
在中用代替得②，
由①②得，所以3是的周期，C项错误，
由知的周期，
则，
在中令得，所以，D项正确.
故选：ABD
12．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由题意等价于当时，与的图象有交点，
又，则，即，
即方程在时有解，
令，显然在上单调递增，
当时，趋于时，，则只需，即；
当时，趋于时，趋于时，，即在上有解，
综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C.
故选：ABC.
13．（2025·江西·一模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个.
【答案】2
【解析】设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，
，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，即，令，
由，得，即，于是只考虑即可，
求导得，显然函数在区间上单调递增，
而，，则存在使得，
当单调递减，单调递增，
而，，，
因此函数在区间，分别各有一个零点，
所以函数的“姊妹点对”有2个.
故答案为：2
14．（2025·上海崇明·二模）若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点．
由时，；得其关于原点对称后的解析式为．
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点．
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：．
即：当时，单调递减，
∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，则，即．
15．（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】的定义域为，则关于轴对称的函数为
，
则条件等价为在上有解，
得，
令，则
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
，
因为当时，，
所以当时，直线与的图象有交点，即在上有解，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
16．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】原问题等价于在有零点，
而，
知在单调递减，在单调递增，
又，，，
所以可判断，
因而的值域为，又有零点，
由得.
故答案为：
17．（2025·河南焦作·模拟预测）已知函数，，若函数的导函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以．由题意知方程在，上有解，
等价于在，上有解，
令，则，
当时，，当时，．
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
所以（1）（4），
因为，，
所以的最大值为，
所以的最大值为．
故答案为：．
18．（2025·四川成都·二模）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，
必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
19．（2025·云南·模拟预测）已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，
等价于在上有零点，
令
则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则，又，
，
，
因，
又，
则，
所以①
②
解得．
故答案为:
20．（2025·全国·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数与图象上存在关于轴有对称的点，
就是有解，
也就是函数与函数有交点，
在同一坐标系内画函数与函数的图象：
函数的图象是把函数的图象向左平移且平移到过点后开始，两函数的图象有交点，
把点代入得，，，
，
故答案为：．
21．（2025·高三·上海浦东新·期中）若直角坐标平面内的两点满足条件:①都在函数的图象上:②关于原点对称.则称点对是函数的一对“友好点对”，（点对与看作同一对“友好点对”）.已知函数（且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，函数关于原点对称的函数为，
即，，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数与，只有一个交点，
作出两个函数的图象如图:
若，则与，只有一个交点，满足条件，
当时，，
若，要使两个函数只有一个交点，则满足，
即，得，
综上:或，即实数的取值范围是，
故答案为：
减
极小值
增
1
3
0
极大值