2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题09分段函数零点问题(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题09分段函数零点问题(学生版+解析)，文件包含2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题09分段函数零点问题教师版docx、2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题09分段函数零点问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
题型一：分段函数不含参数
题型二：分段函数含参数
题型三：转化为恒成立问题
题型四：综合问题
【方法技巧总结】
在处理分段函数零点求参数范围的问题时，需遵循以下步骤：
（1）明确分段函数：首先，清晰界定分段函数的各段表达式及其定义域。
（2）分别求解零点：针对每一段函数，独立求解其零点。这可能涉及解方程、利用函数性质或图形分析等方法。
（3）考虑定义域限制：在求解过程中，务必注意每段函数的定义域，确保零点落在有效范围内。
（4）根据题目要求确定参数范围：结合题目条件，如零点个数、位置等，确定参数的取值范围。这可能需要利用不等式、函数单调性或极值等知识。
【典型例题】
题型一：分段函数不含参数
【例1】（2025·高一·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，在上单调递增，函数值集合为，
当时，在上单调递减，函数值集合为，
又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象：
函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点，
当时，函数图象与直线有4个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】当即时，
，
当即时，，
所以
当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点；
当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点，
综上所述函数的零点个数为4，
故选：C.
【变式1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【答案】B
【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数，
令，则，当时，，令，，
函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则存在，使得；
当时，，解得或，
作函数的大致图象，如图：
又，则，
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当，时，，由的图象知，方程有一个解，
综上所述，函数的零点个数为5.
故选：B
【变式1-3】（2025·河南开封·模拟预测）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，,
则,
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
当时，，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，
所以与的图象有两个交点，
由图可知或.
所以的取值范围为.
故选:C.
题型二：分段函数含参数
【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意；
②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意；
③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点．
则在上有两个零点，此时必须满足，解得．
综上，得或．
故选：A
【变式2-1】（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是
C．若有3个不同的零点，则的取值范围是
D．存在实数，使得有最小值
【答案】ABC
【解析】对于A，若在上单调递增，则解得，故A正确；
对于B，若在上有3个不同的零点，则在内有2个零点，
解得在内有1个零点，
则，故的取值范围是，故B正确；
对于C，由对B的分析知，的取值范围为为方程的两根，
，是的根，
在上单调递减，，的取值范围为，故C正确；
对于D，当时，的图象是开口向下的抛物线，所以在上没有最小值，
当时，单调递增，的最小值为，
而不可能是在上的最小值，
故不可能有最小值，故D错误.
故选：ABC
【变式2-2】（多选题）（2025·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，（，e为自然对数的底数），则（ ）
A．函数至少有1个零点
B．函数至多有1个零点
C．当时，若，则
D．当时，方程恰有4个不同实数根
【答案】ACD
【解析】作出函数和函数的图象，如图所示，
时，函数只有1个零点，
时，函数有2个零点，
当时，函数只有1个零点，A正确，B错误；
当时，因每一段单调递增，且，
所以函数为增函数，C正确；
时，则,,
当有2个解，当时有2个解，因此有4个解，D正确，
故选：ACD．
【变式2-3】（多选题）（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】当时，
时，，，
故函数在区间上单调递增，
因，当时，，故函数在区间上有1个零点
时，开口向下，对称轴为，
故函数在上单调递增，在上单调递减，且，
故函数在上无零点，在有一个零点，
故时，函数有2个不同的零点，符合题意；
当时，
时，，，
当时，，当时，，
故时，，
故函数在区间上无零点，
当时，开口向上，对称轴为，
，函数在区间上无零点，
故函数无零点，不符合题意；
当时，，
当时，，，
函数在区间上单调递减，，
故函数在区间上无零点，
当时，得，
故函数有1个零点，不符合题意；
当时，
当时，，，
函数在区间上单调递减，，
故函数在区间上无零点，
当时，开口向上，对称轴为，
，函数在区间上有2零点，
故函数有2个零点，符合题意；
综上可知，的取值范围为，
故选：BC
题型三：转化为恒成立问题
【例3】（2025·高一·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，恒成立，要使没有零点，
所以，时，恒成立，即恒成立，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
题型四：综合问题
【例4】（2025·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当时，只要，就有，
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，有，
所以在上没有零点.
而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点.
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，解可得到，且由知，
从而确为在上的一个零点.
再解方程，即，
可得两个不同的实数根.
而，.
故确为在上的一个零点，
而当且仅当时，另一根是在上的一个零点.
条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或.
解得；
当时，验证知恰有两个零点和，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由的解析式，可知在上单调递增，
且值域为，在上单调递增，且值域为，
函数的图像如图所示，
所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，
在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.
要使恰有三个不同的零点，
则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，
由的图像开口向上且对称轴为，易知，
此时，且，
结合的图像及，得，
则，
所以，且，
令，，则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，故的最大值为.
【变式4-2】（2025·高三·山东·开学考试）已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，，则，
∵在上单调递减，∴在上单调递减，
∵，满足，∴在上单调递增，
∵，，，，，
由得，，
令，则，令则，
图象如图所示，结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间，故，
又∵，∴
故选：D.
【变式4-3】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，函数只有1个零点
C．当时，函数有5个零点
D．存在实数，使得函数没有零点
【答案】ABC
【解析】函数的零点个数即方程异根的个数，
当时，，则，，
由，有，所以或，
当时，，则，，
由，有，所以，
所以问题转为，的交点个数，
作出函数图象可知：
当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，
当，即时，有4个交点，函数有5个零点，
当时，只有，函数只有1个零点，
当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，
无论实数取何值，使得函数总有零点．
故选：ABC．
【变式4-4】（2025·高一·福建三明·期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，
当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
【过关测试】
1．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
2．（多选题）（2025·高一·江西赣州·开学考试）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】AD
【解析】当时，单调递增，且值域为；
当时，单调递增，所以，即值域为，
当，，当时，取得最大值2，
故值域为且，
画出函数图象如图：
要想函数恰有2个零点，只需与的图象有两个交点，
则或或，故AD正确．
故选：AD.
3．（多选题）（2025·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-3B．-2C．0D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知，
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得，
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
4．（2025·高一·福建三明·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】令，即有三个不同的解，
∴方程在存在一个解，即，即，解得或，
方程在存在两个解，
令，函数的对称轴是，
则，解得，
∴.
故答案为：.
5．（2025·高三·青海·阶段练习）已知函数，若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】若，则，
当时，函数在上单调递增，故，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
若当时，有个零点，
则当时，有个零点，
则，解得
若当时，没有零点，
则当时，有个零点，则或，
解得.
综上，或.
故答案为：；.
6．（2025·高一·河南南阳·阶段练习）设函数
①当时， ；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当时，，所以，所以.
②当时，令，所以或.
当或时，方程在上有唯一解；
当或时，方程在上的解为或.
当时，令，所以.
当时，，方程在上有唯一解；
当时，，方程在上无解.
综上，
当时，函数有2个零点，；
当时，函数有2个零点，1；
当时，函数有3个零点，，；
当时，函数有2个零点，.
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；
7．（2025·高三·天津·阶段练习）已知函数若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
对于，，对其求导，，
易得故函数在单调递减，在单调递增，
且.由题得，，.
因为函数的图象和直线有六个交点，
所以，，三点的高度应满足或，
即或.
显然，由三点高度知道，，所以解不等式可得或，
综合得.
故答案为：.
8．（2025·高三·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 .
【答案】或
【解析】令，
当时，，；
当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
……
作出函数的部分图象如下，
因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2，
由图可知，或.
故答案为：或.
9．（2025·高一·四川成都·期末）设函数，若，则= ；若有三个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
即；
当时，在上单调递增，
当时，，
若有三个零点，则时函数必有一个零点，在时函数必有两个零点，
不妨设时两零点为，
则需满足，解得，
（其中需比较的大小，如下：，而，即可得）
即a的取值范围为，
故答案为：；
10．（2025·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
【答案】7
【解析】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题．
二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
由题意得作出函数的图像如图所示．
由图可知有3个根，当时，，即；
当时，，即.
则对于，当时，;
当时，，此时共有3个解．
对于，此时有1个解，，即有2个解．
对于，此时有1个解，，即无解．
因此，此时函数有7个零点．
故答案为：7.
11．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】易知，所以是函数的一个零点．
（1）当时，由可得，
令，，则，所以单调递增．
又，
∴当时，方程有且只有一解；当时，方程无解.
（2）当且时，由可得，
令（且），则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
且，
所以，函数的大致图象如下，
作直线如图所示，数形结合可得若函数有三个不同的零点，须有.
故实数a的取值范围是．
故答案为：.
12．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】①当时，，由于时，时，
此时只有一个零点，所以不符合题意；
②当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于时，，时，，当且仅当，即时取等号，
此时在上有，要使有两个零点，只需，即；
③当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点，
要使有两个零点，只需函数有一个零点即可，
当时，恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
13．（2025·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，
所以，当时，，当时，，
于是函数的值域为，
又函数的在上单调递增，在上单调递减，
函数图象如图所示：
设，由可知，，则.
因为有两个零点，所以，即，
于是，则方程，即有两个零点，
所以，由的图象可知，使方程有两个零点，
则满足，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（2025·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
【答案】或
【解析】因为，
所以，
则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，
故，的图象有两个不同的交点，
设，
又，的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
当时，
考虑直线与的图象相切，
则由可得，即，
考虑直线与的图象相切，
由可得，则，即．
考虑直线与的图象相切，
由可得，则，即，
结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，或．
故答案为：或．
15．（2025·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，则，则，
令，显然,则有，令，
由对勾函数性质可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
若恰有两个不同的实数根、，且，则，
令，解得或，故，
即有，故.
故答案为：.
16．（2025·高三·湖北荆州·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，当时，，此时，
由，得，即，解得或，
即在上有2个零点；
若，，其图象对称轴为，
函数的大致图像如图：
则此时，即，则，
即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；
故需，此时函数的大致图像如图：
由得或，
要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点
此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，
则需，解得，结合，
可得，
故答案为：
17．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，
当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上可得，.
函数的定义域为，
由复合函数单调性可知函数单调递增.
又，
作出的图象如图所示
由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点，
即有两个零点，
所以的取值范围是.
故答案为：.
18．（2025·北京海淀·一模）设函数
①当时， ；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
19．（2025·北京平谷·一模）设函数，的值域是 ，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，当时，，
所以函数的值域为；
作出函数图象
从图象上可以看出函数的值域为，
因为恰有两个零点，则方程恰有两个解，
从而函数与有两个交点，易知图象是恒过点（1,0）的直线，
如图
当时，函数与有一个交点，当时，
函数与有一个交点，又当时，，则，
所以，故在点处的切线为，即，
故当时，函数与有一个交点，
所以要使函数与有两个交点，则，即恰有两个零点时，a的取值范围为.
故答案为：；.