2023年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题10 函数对称问题

专题10 函数对称问题

1．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，

而函数关于直线的对称图象为，

的图象与的图象有且只有四个不同的交点，

作函数的图象与的图象如下，

易知直线恒过点，

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

故，

故；

故选：．

2．已知函数 图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数 图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在函数的图象上，

而函数关于直线的对称图象为，

函数 图象与的图象有且只有四个不同的交点，

作函数 图象与的图象如下，

，

易知直线恒过点，

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

故，

故；

故选：．

3．已知函数 图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解析】解：函数 图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在函数的图象上，

而函数关于直线的对称图象为，

函数 图象与的图象有且只有四个不同的交点，

作函数 图象与的图象如下，

易知直线恒过点，

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故；

故，

故；

故选：．

4．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：直线关于直线的对称直线为，

则直线与的函数图象有4个交点，

当时，，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

作出与直线的函数图象，如图所示：

设直线与相切，切点为，，

则，解得：，，

设直线与相切，切点为，，

则，解得，．

直线与有4个交点，

直线与在和上各有2个交点，

．

故选：．

5．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，

而函数关于直线的对称图象为，

已知函数的图象与的图象有且只有四个不同的交点，

作函数的图象与的图象如下，

易知直线恒过点，

设直线与相切于点，

，故，

解得，；故；

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故，

故，

故，

故选：．

6．已知函数则此函数图象上关于原点对称的点有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：作出函数图象如图所示：

再作出，即，恰好与函数图象位于轴左侧部分（对数函数的图象）关于原点对称，记为曲线，

发现与曲线有且仅有一个交点，

因此满足条件的对称点只有一对，图中的、就是符合题意的点．

故选：．

7．若直角坐标平面内的两个不同的点、满足条件：

①、都在函数的图象上；

②、关于原点对称．则称点对，为函数一对“友好点对”（注：点对，与，为同一“友好点对” ．

已知函数，此函数的友好点对有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：令，，，

函数，

，，

画出，的图象，

由图象可得有两个交点．

故该函数的友好点对有2对．

故选：．

8．若直角坐标平面内的两点，满足：

①，都在函数的图象上；

②，关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”．（注：点对与看作同一对“友好点对” ．

已知函数，则该函数的“友好点对”有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：根据题意：当时，，则，

可知，若函数为奇函数，可有，

则函数的图象关于原点对称的函数是

由题意知，作出函数的图象，

看它与函数交点个数即可得到友好点对的个数．

如图，

观察图象可得：它们的交点个数是：2．

即的“友好点对”有：2个．

故选：．

9．若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对，是函数的一对“黄金点对”（注：点对，与，可看作同一对“黄金点对” ．已知函数，则此函数的“黄金点对“有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：由题意知函数，关于轴对称的函数为，，

作出函数和，的图象，

由图象知当时，和，的图象有3个交点．

所以函数的““黄金点对“有3对．

故选：．

10．函数的图象上关于轴对称的点共有　　

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【解析】解：函数图象关于轴对称点，就是把的图象在的部分画出，与的交点的个数，

如图中的红色交点，共有3对．

故选

11．已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

【解析】解：设是函数上的点，则，，

则点关于对应的点为在上，

即有解，

即，

当时，不满足条件．

当时，，

设（a），

则（a），

当时，，则，，

即由（a），得，得，即，时，函数为增函数，

由（a），得，得，即时，函数为减函数，

即当时，函数（a）取得极小值同时也是最小值，

又，，函数（a）的最大值为，

即（a）的取值范围是，

则的取值范围是，

故选：．

12．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：若函数，为自然对数的底数）

与的图象上存在关于直线对称的点，

则函数，为自然对数的底数）

与函数的图象有交点，

即，有解，

即，有解，

令，，

则，

当时，，函数为减函数，

当时，，函数为增函数，

故时，函数取最小值1，

当时，函数取最大值，

故实数取值范围是，，

故选：．

13．已知函数，，若与的图象上分别存在点，，使得点，关于直线对称，则实数的取值范围是　　

A． B． 

C．， D．

【解析】解：由题意，图象上分别存在点，，使得点，关于直线对称，则，即，

所以指数函数与一次函数在恒有交点，画出图形，

①时，，即；

②时，，

综上，解得，，，

故选：．

14．已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【解析】解：由已知，得到方程在，上有解．

设，

求导得：，

，

令，解得或，

当时，函数单调递增，

当时，函数单调减，

在有唯一的极值点，

，（2），（1），且知（2），

故方程在，上有解等价于．

从而的取值范围为，．

故选：．

15．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：与的图象上存在关于轴对称的点，

等价为在时，有解即可，

则，

即，在上有解即可，

设，，

作出两个函数的图象如图：

当时，，

当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，

当时，则，得，

综上，

即实数的取值范围是

故选：．

16．已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是　或　．

【解析】解：函数关于直线的对称图象为，

所以条件等价于函数与有且仅有2个不同的交点，

当，，则令，解得，

且当，单调递减，当，单调递增，

作出函数与图象如图：

当是切线时，设切点，，则，

且，解得切点坐标为，，

根据图象可知，则；

当是切线时，设切点，，则，且，解得切点坐标为，，

根据图象可知，则，

综上，或，

故答案为：或．

17．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，

而函数关于直线的对称图象为，

的图象与的图象有且只有四个不同的交点，

作函数的图象与的图象如下，

易知直线恒过点，

设直线与相切于点，

，故，

解得，，故；

设直线与相切于点，

，

故，

解得，；

故，

故，

即；

故答案为，．

18．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：若函数，为自然对数的底数）

与的图象上存在关于直线对称的点，

则函数，为自然对数的底数）

与函数的图象有交点，

即，有解，

即，有解，

令，，

则，

当时，，函数为减函数，

当时，，函数为增函数，

故时，函数取最小值1，由于当时，；当时，；

故当时，函数取最大值，

故实数取值范围是，，

故答案为：，．

19．已知函数，，若函数的导函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的最大值为　　．

【解析】解：因为，所以．由题意知方程在，上有解，

等价于在，上有解，

令，则，

当时，，当时，．

所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，

所以（1）（4），

因为，，

所以的最大值为，

所以的最大值为．

故答案为：．

20．已知函数，与的图象上存在关于点对称的点，则实数的取值范围是　　

【解析】解：函数，与的图象上存在关于点对称的点，

即为函数关于对称的函数，

的图象与的图象有交点，

由关于的对称点为，

代入，可得，

解得，

由图象平移可得的图象向右平移，均有一个交点，

则的范围是，

故答案为：．