初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系教案及反思，共3页。教案主要包含了情境导入，初步认识，思考探究，获取新知，典例精析，掌握新知，运用新知，深化理解，师生互动，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
课 题
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课 型
新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其它课囗
教学内容 分析
本课是初中数学“一元二次方程”章节的拓展与深化内容，承接已学的一元二次方程解法（公式法、因式分解法等），揭示方程根与系数之间的内在规律，为后续学习二次函数、一元二次不等式及高中圆锥曲线等知识提供重要工具。
学情分析
学生已熟练掌握一元二次方程的解法（尤其是公式法），理解“判别式判断方程根的情况”，能通过解方程求出具体根并计算根的和与积，具备从具体实例中归纳规律的初步能力。
教学目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
重难点
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
评价设计
1. 课堂即时评价（过程性评价）
推导互动：在推导关系时，提问“为什么要用求根公式推导？”评价学生对推导逻辑的理解；对推导过程中符号处理错误的学生，及时纠正并追问，强化负号记忆。
2. 课堂练习评价（形成性评价）基础题（85%学生需达标）： 提升题（65%学生需达标）：
评价方式：学生独立完成后，小组内互评，组长收集组内典型错误（如漏验判别式、符号错误），全班集中分析纠错。
3. 课后作业评价（总结性评价）
教学准备
PPT
教学过程及时间分配
一次备课设计及设计意图
二次备课
一、情境导入，初步认识
问题 请完成下面的表格
观察表格中的结果，你有什么发现？
二、思考探究，获取新知
通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:
(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;
(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .
思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？
（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.
【归纳结论】根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
三、典例精析，掌握新知
例1见教材16页例4.
例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
分析：设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.
解：设方程另一根为x1，由x1+3=1,∴x1=-2.又x1·3=-2×3=c,∴c=-6.
例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：
（1）x12+x22; （2） .
例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，
（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.
四、运用新知，深化理解
1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1·x2= ;
2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;
3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;
4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.

板
书
设
计
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=- ,x1·x2= .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
作
业
设
计
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思