沪科版（2024）七年级上册（2024）数轴、相反数和绝对值练习题

这是一份沪科版（2024）七年级上册（2024）数轴、相反数和绝对值练习题，文件包含专题02数轴上的九类动态模型解读与提分精练沪科版2024原卷版docx、专题02数轴上的九类动态模型解读与提分精练沪科版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc16417" 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 PAGEREF _Tc16417 \h 2
\l "_Tc16056" 模型2.单（多）动点匀速模型 PAGEREF _Tc16056 \h 5
\l "_Tc4425" 模型3.单（多）动点变速模型 PAGEREF _Tc4425 \h 9
\l "_Tc27078" 模型4.动点往返运动模型 PAGEREF _Tc27078 \h 13
\l "_Tc32301" 模型5.动态中点与n等分点模型 PAGEREF _Tc32301 \h 16
\l "_Tc31762" 模型6.动态定值（无参型）模型 PAGEREF _Tc31762 \h 22
\l "_Tc21258" 模型7.动态定值（含参型）模型 PAGEREF _Tc21258 \h 26
\l "_Tc5720" 模型8.数轴折叠（翻折）模型 PAGEREF _Tc5720 \h 28
\l "_Tc1342" 模型9.数轴上的线段移动模型 PAGEREF _Tc1342 \h 32
\l "_Tc6606" PAGEREF _Tc6606 \h 36
【知识储备】
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB的中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
模型1.动态规律（左右跳跃）模型
模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；
模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
例1．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…….(1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次；(2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s；(3)第n次移动后，点Q运动时间为______s.(4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由.
【答案】(1)4(2)4，7(3)(4)能，47.5秒或52.5秒
【分析】（1）根据路程=速度时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解;
（2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度时间求出路程，进而求得时间;
（3）根据（1）（2）的规律，根据左减右加列式计算即可求解；
（4）分点在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程速度计算即可得解．
【详解】（1）解：,点走过的路程是：,所以共移动4次故答案为：4．
（2）解：处于：；点走过的路程是,
(秒) 故答案为：4，7．
（3）解：第次移动后，点运动时间为
（4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得
则第一次与A重合需要时间是：
②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则，解得

则第一次与A重合需要时间是：
综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s．
【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键.
例2．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
变式1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数．
【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，，
∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度，
∵，∴，
∴在数轴上表示的数为，故选：B．
变式2．（2023·湖北鄂州·七年级期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为a，b，c，其中a满足，b满足，点P位于该数轴上．(1)求出a，b的值，并求出A，B两点之间的距离AB；
(2)设点C与点A的距离为24个单位长度，且，若PB＝2PC，求点P在数轴上对应的数p；
(3)设点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度……以此类推，问点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次才能重合？若不能，请说明理由．
【答案】(1)a=8，b=-14，AB=22(2)点P对应数为-18或者
(3)第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合，不能移动到与点B重合理由见解析
【分析】（1）根据平方的非负性和解一元一次方程即可求出a、b从而求出AB；
（2）先求出C点表示的数，然后根据PB=2PC，得到，，由此求解即可；
（3）根据题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置，由此求解即可．
(1)解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，∴；
(2)解：∵，∴，
∵点C与点A的距离为24个单位长度，∴点C表示的数为-16，
∵PB=2PC，∴，，∴，
∴或，解得或；
(3)解：由题意可知，每两次运动点P向右移动2个单位长度，
∵点A表示的数为8，∴点P在第8次移动时，即向右移动15个单位与点A重合；
根据题意可知点P第（k为正整数）次移动后，P在原点左边距离原点的位置，
∴，解得不符合题意，∴点P不能运动到B点；
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，熟知相关知识是解题的关键．
模型2.单（多）动点匀速模型
模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。

模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。
例1．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律．
规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为：
①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）；
②（即两点表示的数之差的绝对值）．
规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为
【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点．
（1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________；
（2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________．
【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）．
（3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；
点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________．
（4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．
【答案】【小问1】9， 【小问2】或2 【小问3】，， 【小问4】或
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置，
（1）根据题目给定的距离公式即可求得；
（2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案；
（3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；
（4）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，∴，
点M在数轴上所对应的数为．故答案为：9，
（2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为，
当P点在A点左边时，则P点的为：，
当P点在A点右边时，则P点的为：，故答案为：，
（3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：，
点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：，
此时A、B两点的中点M表示的数为：．
故答案为：，，
（4）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度，
当点A在点B左侧时：解得；
当点A在点B右侧时：解得；
答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距5个单位长度．
变式1．（2023·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．

（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6，
故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
变式2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。
①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时，
【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2(2)①表示的数是，表示的数是；
②当秒或秒时．
【分析】（1）根据点C对应的数为，有OC=6，根据BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即点B表示的数是2；根据，可得OA=10，即问题得解；
（2）①根据动点P、Q运动特点可得，，根据M为的中点，，可得，，结合A对应的数为-10，C表示的数是6，即可求解；②根据（1）中，表示的数，即可得，，即有，结合，可得，即可作答．
【详解】（1）∵点C对应的数为，∴OC=6，
∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴点B表示的数是2，
∵，∴OA=AB-OB=12-2=10，
∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，即A对应的数为-10，B对应的数为2；
（2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是，
∴，，
∵M为的中点，在上，且，∴，，
∵A对应的数为-10，C表示的数是6，∴表示的数是，表示的数是；
②∵表示的数是，∴，∵表示的数是，∴，
∵B对应的数为2，∴OB=2，∴，
∵，∴，
当时，得，
当时，得，
故当秒或秒时．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，得出是解答本题的关键．
模型3.单（多）动点变速模型
例1．（2023·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度；
（3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值；
（4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，．
【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解；
（3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可；
（4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；
【详解】（1）∵，
∴，∴，，，；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：，解得：，
∴点C的运动速度为每秒2个单位；
（3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为，
∴，，
∵，∴①时，，解得：；
②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；∴或20．
（4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时；
①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，．
【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键．
变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知三点在数轴上所对应的数分别为且满足．动点从点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时，动点从点出发，以1单位秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为: 从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒．(1) ______，______，______；
(2)①动点从点运动至点时，求的值；②两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
(3)若点为线段中点，当________秒时，．
【答案】（1）；（2）①19s；②；（3）当秒时，．
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性计算即可求出a和b的值，再根据两点间的距离公式即可求出AC的长度；
（2）①分别求出AO，BO和BC的距离，再根据“时间=路程÷速度”计算即可得出答案；②设P点在数轴上所对应的数为y，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出MD和ND，令MD=ND，解方程即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）①∵ ∴
∴动点从点运动至点时，；
②设两点在点相遇，点在数轴上所对应的数为．
易知点落在线段段，依题意有: 解得:
∴两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数为．
（3）若点为线段中点，则D在数轴上表示的数为5
设时间为t时，MD=ND
①当点N在CB上，点M在AO上运动时，M=-10+2t，N=18-t
则MD=15-2t，ND=13-t 即15-2t=13-t，解得t=2；
②当点N在CB上，点M在OD上运动时，M=t-5，N=18-t
则MD=10-t，ND=13-t即10-t=13-t,无解；
③当点N在OB上，点M在OD上运动时，M=t-5,N=10-2(t-8)
则MD=10-t，ND=5-2(t-8)即10-t=5-2(t-8)，解得t=11；
④当点N在OB上，点M在DB上运动时，M=t-5，N=26-2t
则MD=t-10，ND=21-2t即t-10=21-2t，解得t=；
⑤当点N在OA上，点M在BC上运动时，M=2t-20，N=13-t
则MD=2t-25，ND=t-8 即2t-25=t-8，解得t=17；
综上所述，当秒时，．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，难度偏高，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键.
变式2．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．

(1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？
(2)当、两点相遇时，求运动时间的值．(3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？
【答案】(1)当时，，两点在数轴上相距16个单位长度；
(2)当，两点相遇时，运动时间的值为秒；
(3)当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键．
（1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长；
（2）当时，点表示，点表示，由点，相遇时两点表示的数相同，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论；
（3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分情况讨论，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20，
，，．（秒，（秒，
当时，点表示，点表示，．
答：当时，，两点在数轴上相距16个单位长度；
（2）解：由题可知，M从至的时间为秒，从到为秒，
∴M、N两点相遇在线段上于P处，
当时，点表示，点表示，
根据题意得：，解得：．
答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒；
（3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，点表示．
（秒），（秒），（秒），（秒），
当时，即点在上，点表示，点表示，
，．根据题意得：，解得：；
当时，即相遇前，点表示，点表示，
，．根据题意得：，解得：；
当时，即相遇后且点在上，点表示，点表示，
，．根据题意得：，解得：；
当时，即点在上，点在上，点表示，点表示，
，．根据题意得：，解得：(舍去)；
答：当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6．
模型4.动点往返运动模型
例1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．

(1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数；
(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．
【答案】(1)6(2)2(3)或
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．
（1）计算出点Q运动的路程，即可解答；
（2）计算出点Q的运动路程，即可解答；
（3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。
【详解】（1）解：当时，点Q表示的数为；
（2）解：当时，点Q运动的路程为，点Q表示的数为
（3）解：①点还没达到原点时，点运动的路程为，
秒，点表示的数为；
②点达到原点时，点运动的路程为，
秒，点表示的数为，故点P表示的数为或．
变式1．（2023·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：①当时，P点表示的数为6-4=2，
∴，，，故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，时，，，，
∵，∴，解得；
当P从C向A运动，时，，，，
∵，∴，解得；
当P从A向C运动时，当时，，
，，
∵，∴，解得；
当P从A向C运动时，当时，，，，
∵，∴，解得；综上所述，t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
变式2．（2023·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．
(2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．
模型5.动态中点与n等分点模型
例1．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，

当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，

第八种情况，N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式1.（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：设点对应的数是，
点A对应的数为，且，，，点对应的数是，故①错误；
由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确；
当点在点右边时，，，，（秒），
当点在点左边时，，，，（秒），
综上，时，或；故③错误；
，始终为，的中点，，，
当点在点右边时， ，
当点在点左边时， ，
在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有2个，故选：C．
变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点．
(1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ；
(2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒，
①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示）；②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16
【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键．（1）根据“和谐点”的定义求解即可；
（2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可．
【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点，∴，
设点P所表示的数为p,则,
∴，解得：，∴点P所表示的数为3；
∵点Q是的和谐点，∴，
设点Q所表示的数为q,则，
∴，解得，∴点Q所表示的数为．故答案为：3；．
（2）解：∵，∴解得：，
∴点A所表示的数为，点B所表示的数为，
∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4，
又∵点D所表示的数为12，∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示：
∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，
∴点C所表示的数，点B，C之间的距离，
①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动，
∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒），
又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒），
∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒），
∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中；
∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒），
∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，
∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒），
∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒），
∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中．
故答案为：．
②存在；∵点C是的和谐点，∴，且点C在点P，Q之间，
∴有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，
此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：，
∴,∴，解得：；
b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，
∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为，
∴，∴，解得：，
当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去；
c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，
∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为，
∴，∴，解得：．
综上所述：t的值为2或16秒．
模型6.动态定值（无参型）模型
设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。
例1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；
（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．
【答案】（1）线段AB的长为5；（2）存在，当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不变，为.
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点M在数轴上对应的数是m，由MA+MB＝BC+AB确定出M位置，即可做出判断；
（3）设N点所表示的数为n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根据条件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．
【详解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，
∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：线段AB的长为5；
（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．
设点M在数轴上对应的数是m，
∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，
令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．
①当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=9， m=﹣5；
②当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=9（舍去）；
③当m＞2时，m+3+m﹣2=9，m=4．
∴当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；
（3）设N点所表示的数为n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．
∵NA的中点为Q，∴NQ＝NA＝，
P为NB的三等分点且靠近于B点，∴BP＝NB＝（n﹣2），
∴×-×(n-2)=，故的值是不变的．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，去绝对值的运用，解答时灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
变式1.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，
由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
变式2．（2023·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
【答案】5或3.5
【分析】随着点B的运动，分别讨论点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【详解】解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5
【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
模型7.动态定值（含参型）模型
例1．（2023·江苏扬州·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒．
(1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示．
(2)当___秒时，两点之间相距8个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，(2)或(3)，这个定值为
【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可；
（2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可；
（3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为，
∵点A和点B间距个单位长度，∴，解得：，∴点A表示的有理数是，
∵，∴点C表示的有理数是，
∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，
∴点P表示的数是，故答案为：，，；
（2）解：①当点P在点B左边时，，
∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，
②当点P在点B右边时，，
∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，
∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度，故答案为：或；
（3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下：
由题意可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
则，，，
，
∵要使得为一个定值，∴，解得：，
∴，∴，这个定值为．
【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
变式1．（2023春·广东深圳·七年级校考开学考试）如图，已知：数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，点B在点A左边且点A与点B的距离，动点P、Q分别从点A、B两点同时向左移动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．
(1)写出数轴上点B表示的数 ；(2)经过多少秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，并求出此时点P表示的数是多少？(3)若点M为中点，N为中点，是否存在常数k使得的值为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)经过4秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是(3)存在，
【分析】分析：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：①相遇前P、Q两点的距离为6个单位长度；②相遇后P、Q两点的距离为6个单位长度；进行讨论即可求解；（3）设运动时间为秒，分别表示出所表示的数，进而表示出，用含的式子表示出的值，根据与的值无关，进行求解即可．
【详解】（1）解：（1）数轴上点B表示的数是．故答案为：；
（2）设经过x秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，依题意有：
①相遇前P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得，
则点P表示的数是；
②相遇后P、Q两点的距离为6个单位长度，，解得．
则点P表示的数是．
答：经过4秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；经过10秒以后，P、Q两点的距离为6个单位长度，此时点P表示的数是；
（3）解：存在；设运动时间为秒，则：点表示的数为：，点表示的数为：，
∵点M为中点，N为中点，
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
∴，，∴，
∴当时，即，是定值：．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用以及整式加减中的无关型问题，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，列出方程，是解题的关键．注意分类思想的应用．
模型8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（2023·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．
（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或
【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可；
（2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可；
（3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可；
（4）求得对称中心，然后求解即可；（5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可；（6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为；
（2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为
机器人向左移动两次，则B点表示的数为
机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或
（3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ，
由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10
（4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2
（5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6
（6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8
当在左侧时，，点N表示的数为-4
当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或
【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
变式1．（2023·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．
(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．
【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒
【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为；
（3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得．
【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合
∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点，
∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3
（2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，
设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：；
②设点A表示的数为x，则点B表示的数为，
，∴，，故答案为：，6；
（3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为，
∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点，
∴点E与点F也恰好重合时，，∴．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式．
变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题：
【问题情境】
（1）平移运动
如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．
①______（用含的代数式表示）；
②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；
③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______．
（2）翻折变换
①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；
②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；
③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数．
【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答）
【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为．
【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算可求解．③先列式，再利用规律求解即可；
（2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点P对应的数为，则对应的数为，利用点与点相距2个单位长度，再建立方程即可求解．
迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可．
【详解】解：（1）①数为；
②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；；
③由题意可得：
；
（2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为；
②由题意可得：；
③设折点P对应的数为，则对应的数为，
∵点与点相距2个单位长度，∴，即，
∴或，解得：或，∴P对应的数为或．
迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数．
解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，
设在数轴上表示的数为，则对应的数为，
∴，∴，∴，
点为，故表示的数为．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数是解本题的关键．
模型9.数轴上的线段移动模型
例1．（2023·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15．
（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；
（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？
（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？
【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t=23或25
【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度；
(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出;
(3) 分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10；
∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14．
∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；
（2）设运动时间为a秒时B、C相遇，
此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a
∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8
此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2
(3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t
∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=
综上所述：当BC=1时，t=23或25；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数．
变式1．（2023·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．
(1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝ （s）；
②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．
【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s
【分析】（1）根据非负数的性质可得答案；（2）①根据中点的定义及距离可得答案；②分两种情况：m在n后面时，m在n前面时，分别得到答案即可．
(1)解：∵|a＋5|＋（b＋1）2＝0，∴|a＋5|＝0，（b＋1）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝﹣1∴m＝-1-（-5）=4
又因为c＝3，d＝8∴n＝8-3=5∴m和n的长度分别为4和5；
(2)解：①∵（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3．∴t＝s，故答案是：；
②m在n后面时，BC＝3﹣（﹣1）＝4，设t秒重叠2个单位长度，
可得4t＝3t+4+2，解得t＝6，m在n前面时，AD＝8﹣（﹣5）＝13，
可得4t＝3t+13﹣2，解得t＝11，综上t＝6s或11s．
【点睛】此题考查了数轴的相关概念，掌握非负数性质和表示线段距离是解决此题关键．
变式2．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0
（1）则m＝ ，n＝ ；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15
【分析】（1）由非负性可求m，n的值；
（2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解；
（3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解．
【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，
∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3；
（2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5，
∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5；
②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁，
根据题意可得方程组为： ，解得： ，
答：奶奶今年64岁；
（3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t，
∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关，
∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想.
1．（2023·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．①②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．
2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可．
【详解】解：由题可得：==，故答案选：B．
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键．
3．（2023·江苏·盐城市七年级阶段练习）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过__秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．
【答案】14或
【分析】已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可．
【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为8个单位长度，分析N点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：
当N向左运动，则有，解得t=，
当N向右运动，则有，解得t=14．故答案为14或．
【点睛】本题考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t的一元一次方程是解决本题的关键．
4．（2023·浙江·七年级期末）如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是______．
【答案】1
【分析】根据点A、B表示的数可得出线段AB的长度，利用时间＝路程÷速度可求出当点P到达点B时点P、Q运动的时间，再由点Q的出发点、速度及运动时间可得出当点P到达点B时点Q在数轴上表示的数．
【详解】解：∵点A表示的数为−8，点B表示的数为10，
∴线段AB的长度为10−（−8）＝18，
∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为18÷2＝9（秒），
∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为−8＋（3×9－18）＝1．故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，掌握求数轴上两点间距离以及准确利用行程问题的数量关系求解是解题的关键．
5．（2023·山东七年级课时练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
6．（2023·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数；
（3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒．
①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值；
②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3
【分析】（1）根据非负性可求出答案；（2）分三种情况：当点M在点B的左侧；当点M在点B，C之间时；当点M在点C的右侧时；进行讨论可求M点表示的数；
（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，AC，代入代数式可求解．
【详解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45；
（2）当点M在点B的左侧，
∵MB＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴点M点表示的数为-15-3=-18；
当点M在点B，C之间时，
∵MB＋MC＝BC=45≠51，∴不存在点M，使MB＋MC＝51；
当点M在点C的右侧时,
∵MB＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3，
∴点M点表示的数为30+3=33；综上所述，M点表示的数为-18或33；
（3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或．
②∵=-，
原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不随时间t的变化而改变，
∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，数轴上的中点公式，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可．
7．（2023·江西南昌·七年级校考期中）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)，14，24 (2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2
(3)①；；②MN的长是定值，
【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长；
（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；
（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；
②用两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，
所以，所以点B表示的数是；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且，
所以，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是（单位长度），
所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：，14，24．
（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是，
根据题意得，解得，所以，
答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是．
（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：，
8.（2023·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝ ，b＝ ；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
9．（2023·江苏无锡·七年级期末）在数轴上，点A表示，点B表示20，动点P、Q分别从A、B两点同时出发．(1)如图1，若P、Q相向而行6秒后相遇，且它们的速度之比是2：3（速度单位：1个单位长度/秒），则点P的速度为 个单位长度/秒，点Q的速度为 个单位长度/秒；
(2)如图2，若在原点O处放一块挡板．P、Q均以（1）中的速度同时向左运动，点Q在碰到挡板后（忽略球的大小）改变速度并向相反方向运动，设它们的运动时间为t（秒），试探究：
①若点Q两次经过数轴上表示12的点的间隔是5秒，求点Q碰到挡板后的运动速度；
②若点Q碰到挡板后速度变为原速度的2倍，求运动过程中P、Q两点到原点距离相等的时间t．
【答案】(1)2，3(2)①12个单位长度/秒；②2秒或秒
【分析】（1）设P、Q的速度分别为2x，3x，由两点路程之和=两点之间的距离，列方程即可求解；
（2）解：①点Q第一次经过表示12的点开始到达原点用时4秒，再次到达表示12的点用时1秒，即可求解；②分两种情况：当P、Q都向左运动时和当Q返回向右运动时即可求解.
(1)解：设P、Q的速度分别为2x，3x，
由题意，得：6（2x+3x）=20-（-10），解得：x=1，故2x=2，3x=3，故答案为：2，3；
(2)解：①，．
答：点Q碰到挡板后的运动速度为12个单位长度/秒．
②当P、Q都向左运动时，解得：．
当Q返回向右运动时，解得：．
答：P、Q两点到原点距离相等时经历的时间为2秒或秒．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
10．（23-24七年级上·吉林松原·期中）如图A在数轴上所对应的数为．

A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之，间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示3和的两点之间的距离是
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为
(3)B点距A点6个单位长度，求B点所对应的数；
(4)在(3)的条件下，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，求此时A，B两点间距离．
【答案】(1)4；7(2)(3)4，(4)6或18
【分析】（1）用数轴上右边的数减去左边的数即可得到对应两点的距离；
（2）由于x的位置不确定，所以应取两数差的绝对值；（3）根据（2）中方法列方程求解即可；（4）分两种情形分别进行求解即可．先确定A用的时间，计算B点到达的位置对应的数，再计算两点间距离即可．
【详解】（1）， 故答案为：4，7．
（2）故答案为：．
（3）设B点对应的数为x，则有∴或．
（4）点A运动到所在的点时，所用的时间为4秒，
当B点原来表示的数为4时，运动4秒后表示的数是，此时，
当B点原来表示的数为，运动4秒后表示的数是此时．
【点睛】本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点的距离，有理数的混合运算，解方程，正确理解数轴上的动点问题是解题的关键．
11．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．

(1)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；① 当时，求t的值；② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)，，4(2)①或，②不会随着t的变化而改变，见解析
【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可；（2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案；
②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论．
【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4；
故答案为：，，4
（2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，
∵，∴，∴或，
②不会随着t的变化而改变，理由如下：
由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是，
∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等，∴点M表示的数是，
∵，∴，即为定值．
【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键．
12．（2023·山东烟台·七年级校考期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，，．(1)直接写出a= ___________，b= ___________；
(2)现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度？
【答案】(1)(2)①两只蚂蚁经过秒相遇；②点C对应的数是，
③经过秒或秒，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度
【分析】（1）根据两个数乘积大于0说明两数同号即可求解；
（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；
②根据路程、速度、时间关系，列出算式计算即可求解；
③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距个单位长度列一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）①设蚂蚁运动时间为x秒，依题意得，
解得故两只蚂蚁经过秒相遇；
②，，故：点C对应的数是，
③当P在Q左侧（相遇前）时：解得
当P在Q右侧（相遇后）时：解得
故经过秒或秒，两只蚂蚁在数轴上相距个单位长度
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性；解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．
13．（2023·安徽滁州·七年级校考阶段练习）在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，．
【分析】（1）根据距离公式进行求解即可；
（2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可；
（3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为，
或，解得或．故答案为：或；
（2）解：∵圆的半径为，此圆的周长，当圆向左滚动时点表示的数是；
当圆向右滚动时点表示的数是．故答案为：或；
（3）解：∵，∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧．
①当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
②当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
③当点为线段的中点时，．
点表示的数为，，．
综上所述，，或，或，．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
14．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，．
(1)填空：______，______，______；
(2)如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为
问：当为何值时，、之间的距离为2？
(3)如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______．
【答案】(1)，8，16；(2)当为6或时；(3)．
【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值；
（2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可；（3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可．
【详解】（1）解：∵，∴，，∴解得：，，
∵，，，，
（2）由（1）可知，，，，
∴点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，
当时，
∴或 或
∴当为6或时，、之间的距离为2．
（3）点表示的数为，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点，
∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，，
，根据题意可知、、，
∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，，
①点、点在上相遇，则， ，不符合题意；
②点、点在上相遇，则，， ，不符合题意；
③点、点在上相遇，则，，
，符合题意，点表示的数为：，点表示的数为，
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化．
15．（2023·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2023·广东广州·七年级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，，
∴，，
∵，∴，∴；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为，，∴
∵，∴，∴；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，∴
∵，∴，∴，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，∴，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，∴，解得，
∴综上所述，当，t=1或18．
【点睛】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．
17．（2023·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
【答案】（1）40；（2）-260；（3）24或32．
【分析】（1）与A、B两点距离相等的点是它们的中点，即（-20+100）÷2结果是M；
（2）此题是追及问题，可先求出P追上Q所需的时间，然后可求出Q所走的路程，根据左减右加的原则，可求出点D所对应的数；（3）此题是相遇问题，先求出相距10单位时所需的时间，相距10单位，分相遇前和相遇后计算，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到C地点所对应的数．
【详解】（1）根据题意可知，点M为A、B的中点，
∴（-20+100）÷2=40，答：点M对应的数为40，故答案为：40；
（2）点P追到Q点的时间为120÷（6-4）=60，即此时Q点经过的路程为4×60=240，
即-20-240=-260，答：点D对应的数是-260，故答案为：-260；
（3）分相遇前和相遇后两种情况讨论：
他们相遇前相距10单位时，（120-10）÷（6+4）=11，
及相同时间Q点运动路程为：11×4=44，即-20+44=24；
他们相遇后相距10单位时，（120+10）÷（6+4）=13，
及相同时间Q点运动路程为：13×4=52，即-20+52=32，
答：点C对应的数是24或32，故答案为：24或32．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，相遇和追及问题，有理数的运算，掌握数轴上的动点问题是解题的关键．
18．（2023·山东青岛·七年级期中）如图，，分别为数轴上的两点，点对应的数为-20，点对应的数为100．
（1）请写出中点所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【答案】（1）40；（2）28；（3）-260．
【分析】(1)直接根据中点坐标公式求出M点对应的数;
(2)①先求出AB的长,再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程, 求出t的值即可; ②由①中t的值可求出P、Q相遇时点P移动的距离,进而可得出C点对应的数;
(3)此题是追及问题,可先求出P追上Q所需的时间, 然后可求出Q所走的路程,根据左减右加的原则,可求出点D所对应的数．
【详解】法一:（1）,点表示的数为：,
（2）它们的相遇时间是（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：.
（3）两只蚂蚁相遇时的运动时间为：（秒）,
即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：,
方法二:（1）,
（2）动点,,相遇,则,,, ,
（3）动点;,
相遇，则,,,．
【点睛】本题主要考查的是数轴上点的运动,还有相遇问题与追及问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系.
19．（2023·四川师范大学附属中学七年级阶段练习）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为−1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．
（3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】（1）−1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有−1、0、1、2、3、4、5；（3）48
【分析】（1）根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可；
（2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程．
【详解】解：（1）∵点A、 B对应的数分别为−1，5，
∴，即点A、B的距离为6；
∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点，则有：，所以；
（2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小，
当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，
当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6，
当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，
所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6，
点A、点B之间的整数值有−1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得：−1+3t=5+2t+6，解得：t=12，所以4t=4×12=48，
所以点P所经过的总路程是48个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离和中点、路程问题；题目较长，比较复杂，读题是一个难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
【答案】（1）13，−11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，
∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝
综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE=−7+2y−5= 2y−12∴ 2(2y−12) = 6，解得：y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时，
HD=4- (−7+2y-13)= 24− 2y，∴ 2(24−2y) = 6，解得：y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.