1.2.1数轴（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：1.2.1 数轴副标题：建立数与形的桥梁，直观理解有理数背景图：展示标准数轴（标注原点、正方向、单位长度），数轴上标注典型有理数（-3、-1.5、0、2、\(\frac{3}{2}\)），搭配生活中类似数轴的场景（温度计、直尺刻度），背景为淡蓝色几何底纹，突出 “数轴是有理数的直观表示工具” 核心。幻灯片 2：学习目标理解数轴的定义，明确数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能准确判断一个图形是否为数轴，避免因缺少要素导致的错误。掌握数轴的绘制步骤，能根据实际需求（如表示的数的范围）确定单位长度，规范画出数轴并标注有理数。学会在数轴上表示有理数（整数、分数、小数），理解 “每一个有理数都对应数轴上唯一的点”，建立数与形的对应关系。掌握利用数轴比较有理数大小的方法（右边的数大于左边的数），能快速比较两个或多个有理数的大小，提升直观分析能力。幻灯片 3：情境引入 —— 为什么需要数轴？实例 1：温度计的启发情境：温度计上有刻度（单位长度）、0℃刻度线（类似原点）、向上为温度升高的方向（类似正方向），能直观表示零上、零下温度（如零上 5℃对应刻度 “5”，零下 3℃对应刻度 “-3”）。这种 “用直线上的点表示数” 的方式，就是数轴的雏形。实例 2：直尺的刻度表示情境：直尺上有 0 刻度（原点）、向右为长度增加的方向（正方向）、1 厘米为单位长度，能表示 1cm、2.5cm 等正数。若将直尺向左侧延伸，标注负数刻度，就能表示更多有理数。实例 3：位置的描述情境：在一条直线上，规定 “学校” 为起点（原点），向东为正方向，100 米为单位长度。则 “学校东边 200 米” 可表示为 “2”，“学校西边 150 米” 可表示为 “-1.5”，通过直线上的点能清晰描述位置关系。引入概念：为了更直观地表示有理数（包括正数、0、负数），我们引入 “数轴”—— 一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。数轴能将抽象的有理数转化为直观的点，帮助我们理解数的大小关系和位置特征。幻灯片 4：数轴的定义与三要素一、核心定义数轴：规定了原点（Origin）、正方向（Positive Direction） 和单位长度（Unit Length） 的直线叫做数轴。本质：数轴是 “数” 与 “形” 结合的工具，用直线上的点表示有理数，点的位置对应数的大小。二、数轴的三要素（缺一不可）要素名称定义与要求示例与说明原点直线上表示数 0 的点，是正负数的分界点温度计上的 0℃刻度线、直尺上的 0 刻度，通常用 “O” 标注正方向规定的数增大的方向，通常用箭头表示（一般向右）数轴上箭头指向右方，代表数从左到右逐渐增大；也可规定向上、向右为正方向，需明确标注单位长度直线上相邻两个整数点之间的距离，需统一且固定若表示 - 3 到 3 的数，可设单位长度为 1cm，相邻整数点（如 - 1 与 0、0 与 1）间距 1cm；单位长度可根据数的范围调整（如表示较大数时，单位长度设为 2cm）三、判断一个图形是否为数轴判断标准：是否同时具备三要素，缺一不可。错误示例分析：缺少原点：直线上有正方向和单位长度，但未标注 0 点→不是数轴；缺少正方向：直线上有原点和单位长度，但无箭头指示正方向→不是数轴；单位长度不统一：直线上原点、正方向齐全，但相邻整数点间距不同（如 0 到 1 间距 1cm，1 到 2 间距 2cm）→不是数轴；非直线：用曲线标注原点、正方向、单位长度→不是数轴（数轴必须是直线）。幻灯片 5：数轴的绘制步骤以 “绘制能表示 - 4 到 3 之间有理数的数轴” 为例，展示规范步骤：步骤 1：画一条水平直线用直尺画一条水平直线，确保直线平直，无弯曲。步骤 2：确定原点并标注在直线中间位置选取一点，标注 “O”，表示原点（对应数 0）。提示：原点位置可根据表示的数的范围调整（如表示负数较多时，原点可偏右）。步骤 3：规定正方向并标注箭头通常规定直线向右为正方向，在直线右端画一个箭头，标注 “正方向”（或省略文字，箭头默认表示正方向）。注意：若规定其他方向（如向上），需明确标注箭头和方向说明。步骤 4：确定单位长度并标注刻度根据表示的数的范围确定单位长度（如 - 4 到 3 共 7 个单位，设单位长度为 1cm，直线长度需足够容纳）；从原点出发，向右依次标注 1、2、3（每个刻度与原点间距 1cm），向左依次标注 - 1、-2、-3、-4（每个刻度与原点间距 1cm）；提示：单位长度需统一，相邻刻度间距相等，刻度线垂直于数轴直线，标注清晰。步骤 5：验证三要素是否齐全检查：是否有原点 “O”、正方向箭头、统一的单位长度，确保无遗漏或错误。步骤 6：（可选）标注典型有理数在数轴上找到对应点，标注具体有理数（如在 - 1.5、\(\frac{1}{2}\)对应的位置画点，标注 “-1.5”“\(\frac{1}{2}\)”）。易错点提醒单位长度不统一：绘制时用直尺测量间距，确保相邻整数点间距相等；原点标注不清晰：用 “O” 明确标注原点，避免与其他点混淆；正方向箭头遗漏：必须画箭头表示正方向，否则无法判断数的增减方向。幻灯片 6：在数轴上表示有理数一、整数的表示（最简单的有理数）方法：整数对应数轴上的刻度点，原点对应 0，原点右侧刻度对应正整数（1、2、3…），左侧刻度对应负整数（-1、-2、-3…）。示例：表示 “3”：在原点右侧第 3 个单位长度的点标注 “3”；表示 “-2”：在原点左侧第 2 个单位长度的点标注 “-2”。二、分数与小数的表示方法：根据分数 / 小数的绝对值，将单位长度平均分，找到对应位置。示例 1：正分数 / 小数（如\(\frac{1}{2}\)、1.5）：\(\frac{1}{2}\)（0.5）：将原点右侧 “0 到 1” 的单位长度平均分成 2 份，取靠近 0 的第 1 份对应的点，标注 “\(\frac{1}{2}\)” 或 “0.5”；1.5：将原点右侧 “1 到 2” 的单位长度平均分成 2 份，取靠近 1 的第 1 份对应的点，标注 “1.5”。示例 2：负分数 / 小数（如\(-\frac{3}{4}\)、-2.2）：\(-\frac{3}{4}\)（-0.75）：将原点左侧 “0 到 - 1” 的单位长度平均分成 4 份，取靠近 0 的第 3 份对应的点，标注 “\(-\frac{3}{4}\)” 或 “-0.75”；-2.2：将原点左侧 “-2 到 - 3” 的单位长度平均分成 10 份，取靠近 - 2 的第 2 份对应的点，标注 “-2.2”。三、核心结论每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示（数→点的对应是唯一的）；反之，数轴上的点不一定都表示有理数（如表示 π 的点，π 是无限不循环小数，不是有理数）。四、典型例题（在数轴上表示有理数）题目：在数轴上表示下列有理数：-3、\(\frac{2}{3}\)、0、-1.2、2.5。解析：画数轴（三要素齐全）；标注整数点：-3（左 3 格）、0（原点）、2（右 2 格）；标注分数 / 小数：\(\frac{2}{3}\)≈0.67：右 0 到 1 之间，分 3 份取 2 份；-1.2：左 1 到 2 之间，分 10 份取 2 份（靠近 - 1）；2.5：右 2 到 3 之间，分 2 份取 1 份；在对应点旁标注数，确保清晰。幻灯片 7：利用数轴比较有理数大小一、核心规律数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大（数的大小与点的位置直接相关）。推导结论：所有正数都在原点右侧，所有负数都在原点左侧→正数 > 0 > 负数；两个正数：右侧的数距离原点更远→数值更大（如 3 在 2 右侧，故 3 > 2）；两个负数：右侧的数距离原点更近→数值更大（如 - 1 在 - 3 右侧，故 - 1 > -3）。二、比较步骤在数轴上找出各有理数对应的点；观察点的左右位置关系；根据 “右大左小” 得出大小关系。三、典型例题（比较有理数大小）例题 1：比较两个数的大小题目：比较 - 2.5 和 - 1.5 的大小。解析：在数轴上，-1.5 在 - 2.5 右侧→根据 “右大左小”，-1.5 > -2.5。例题 2：比较多个数的大小题目：将 - 3、1、0、-\(\frac{1}{2}\)、2.3 按从小到大的顺序排列。解析：在数轴上标注各点：-3（最左）、-\(\frac{1}{2}\)、0、1、2.3（最右）；按从左到右顺序排列：-3 < -\(\frac{1}{2}\) < 0 < 1 < 2.3。例题 3：结合实际场景比较题目：某一天不同城市的气温如下：北京 - 5℃、上海 3℃、广州 8℃、哈尔滨 - 12℃，将气温按从低到高排列。解析：气温对应数轴上的数：-12（哈尔滨）、-5（北京）、3（上海）、8（广州）→从低到高：-12℃ < -5℃ < 3℃ < 8℃。四、易错点提醒比较两个负数大小时，易忽略 “距离原点越近，数值越大”（如错误认为 - 5 > -3），需通过数轴直观判断位置；排列多个数时，需先在数轴上准确定位，再按 “左到右” 顺序排列，避免凭主观记忆出错。幻灯片 8：易混概念与易错点辨析易错类型错误示例规避策略数轴三要素缺失绘制数轴时，未画正方向箭头，或单位长度不统一绘制前默念 “三要素：原点、正方向、单位长度”，完成后逐一检查，确保无遗漏；单位长度用直尺测量，保证间距相等分数 / 小数在数轴上定位错误将\(\frac{1}{3}\)标在 0 到 1 之间的\(\frac{1}{2}\)位置（混淆分数分母）定位分数时，先明确 “将单位长度平均分成分母份，取分子份”；定位小数时，根据小数位数确定平均分的份数（如 0.01 需分 100 份），必要时用直尺辅助划分比较负数大小时逻辑颠倒认为 “-6 比 - 2 大”（错误认为数字绝对值大的负数更大）比较负数前，先在数轴上标出对应点，通过 “右侧点大” 的规律判断，或牢记 “负数比较，绝对值大的反而小”混淆 “数与点的对应关系”认为 “数轴上的点都表示有理数”（如 π 对应的点）明确 “有理数→数轴上唯一的点”，但 “数轴上的点不一定是有理数”，后续会学习无理数，现阶段只需掌握有理数的对应幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）一、基础题（数轴识别与绘制）填空题：① 数轴的三要素是______、、（答案：原点，正方向，单位长度）；② 在数轴上，表示 - 4 的点在原点的______侧，距离原点______个单位长度（答案：左，4）；③ 若数轴上点 A 表示 - 2，点 B 表示 3，则点 A 在点 B 的______侧，A 表示的数比 B 表示的数______（答案：左，小）。操作题：题目：绘制一条数轴，在数轴上表示下列有理数：-2、\(\frac{3}{2}\)、0、-1.5、4，并标注各点。评分标准：三要素齐全（原点、正方向、单位长度统一），点的位置准确，标注清晰。二、提升题（大小比较与应用）解答题：题目：已知数轴上有 A、B、C 三点，分别表示 - 3.5、1、-\(\frac{1}{2}\)，比较这三个点表示的数的大小，并说明理由。答案：-3.5 < -\(\frac{1}{2}\) < 1；理由：在数轴上，-3.5 在最左侧，-\(\frac{1}{2}\)在中间，1 在最右侧，右侧的数大于左侧的数。应用题：题目：某潜水员先潜入水下 10 米（记为 - 10 米），然后上升 3 米，再下降 5 米，最后上升 7 米。用数轴表示潜水员每次的位置，并判断最终位置与初始位置（水面，记为 0 米）的关系。解析：初始位置：0 米；第一次潜入：-10 米（数轴左 10 格）；上升 3 米：-10 + 3 = -7 米（左 7 格）；下降 5 米：-7 - 5 = -12 米（左 12 格）；上升 7 米：-12 + 7 = -5 米（左 5 格）；最终位置 - 5 米在原点左侧，故在水下 5 米处，比初始位置低 5 米。幻灯片 10：课堂总结知识梳理：核心概念：数轴是规定原点、正方向、单位长度的直线，是有理数的直观表示工具；关键技能：绘制数轴（三要素齐全）、在数轴上表示有理数（整数、分数、小数）、利用数轴比较大小（右大左小）；重要结论：正数 > 0 > 负数，两个负数比较，右侧的数更大；每一个有理数对应数轴上唯一的点。方法提炼：绘制数轴：按 “画直线→标原点→定方向→设单位长度” 的步骤，确保规范；表示数：整数找刻度点，分数 / 小数平均分单位长度，准确定位；比大小：复杂情况画数轴，通过点的位置快速判断，避免抽象记忆出错。学习延伸：观察生活中类似数轴的工具（如温度计、体重秤刻度），思考其与数轴的2025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.知道数轴的三要素，能正确地画出数轴.2.能说出数轴上的点所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来.3.探索数轴上的点与有理数的对应关系，初步体会数形结合的数学思想.◎重点:数轴上的点与有理数的对应关系.◎难点:数形结合的数学思想. 激趣导入 观察生活中你所熟悉的温度计，回答下面几个有关温度计设计特点的问题:(1)中间的柱管有什么用？激趣导入(2)温度计刻度的正负是怎样规定的？以什么为基准？基准刻度线表示多少摄氏度？(3)每相邻两条刻度线之间的距离有什么特点？温度计就是一种由数字构成的轴，我们这节课将学习数轴. 数轴的概念 1.原点表示数　0　，当直线水平放置时，一般取从左到右的方向为　正方向　. 2.规定了　原点　、　正方向　、　单位长度　的直线叫做数轴. 0正方向原点正方向单位长度 数轴上的点与有理数的对应关系 1.正有理数可用原点　右边　的点来表示，负有理数可用原点　左边　的点来表示，零用　原点　表示.  2.任何一个有理数都可以用　数轴上的一个点　来表示. 右边左边原点数轴上的一个点 1.下列说法中，错误的是(　C　)2.在数轴上，M点表示－5，N点表示－3，则这两点中，　N　点离原点较近. CN3.在数轴上画出表示下列各数的点:－2，＋3，－0.5，4.5.解:在数轴上表示如图所示: 数轴的概念1.一些同学在作业中所画的数轴如图所示，其中正确的是(　C)C 数轴上的点与有理数的关系2.指出如图所示的数轴上A、B、C、D四个点分别表示的数.解:点A表示的数是－2.5；点B表示的数是－0.5；点C表示的数是1；点D表示的数是3.5.方法归纳交流　如何读出数轴上的点所表示的数？首先要看点在原点的左侧还是右侧，从而确定符号，然后再看距离原点几个单位长度，从而确定数.解:点A表示的数是－2.5；点B表示的数是－0.5；点C表示的数是1；点D表示的数是3.5.首先要看点在原点的左侧还是右侧，从而确定符号，然后再看距离原点几个单位长度，从而确定数.3.在数轴上表示下列各数.－11，－2，1，2.5，3，4.解:在数轴上表示各数如图所示.方法归纳交流　一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的　右　边，与原点的距离是　a　个单位长度；表示－a的点在原点的　左　边，与原点的距离是　a　个单位长度. 解:在数轴上表示各数如图所示.右a左a  2.在数轴上，表示－4的点与表示－6的点之间的距离是　2　个单位长度. C23.A点与数轴上表示－2的点相距3个单位长度，则A点表示的数是　－5或1　. －5或14.某市一条自西向东的道路旁依次有人民公园、新华书店、实验中学、科技馆、花园小区五个地点，相邻两个地点的距离依次为3 km，1.5 km，2 km，3.5 km.如果以新华书店为原点，规定向东方向为正，向西方向为负，设图上0.5 cm长的线段表示实际距离1 km，请画出数轴，将五个地点在数轴上表示出来.解:五个地点在数轴上表示如图所示.知识点1　数轴1. 认识数轴需明确两点：(1)0是 和 的分界点；(2)数轴的“三要素”为 、 、 ⁠ ⁠.正数　负数　原点　正方向　单位长度　 返回2. 下列数轴表示正确的是(　D　)【点拨】DA. 正数应在原点右边，负数应在原点左边，且按从小到大的顺序从左往右排，故A错误；B. 负数的大小顺序标反，应从原点向左依次标－1，－2，－3，…，故B错误；C. 缺少原点，故C错误. 返回3. 关于数轴，下列说法最准确的是(　D　)D 返回知识点2　数轴上的点与数的对应关系4. [母题 教材P9练习T1]如图，数轴上点 E 表示的数是(　A　)A 返回5. [2023·自贡]如图，数轴上点 A 表示的数是2 023， OA ＝ OB ，则点 B 表示的数是(　B　)所以 OB ＝ OA ＝2 023.因为点 B 在点 O 左侧，所以点 B 表示的数为－2 023.【点拨】因为 OA ＝ OB ，点 A 表示的数是2 023，【答案】B 返回6. 如图，数轴的单位长度为1，如果点 A 表示的数是－2，那么点 B 表示的数是(　D　)【点拨】根据点 A 表示的数是－2，画出数轴的原点，如图，则点 B 表示的数为2.故选D. D 返回知识点3　数轴上点的运动7. 在数轴上，点 A 表示－2.若从点 A 出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点 B ，则点 B 表示的数是(　C　)C 返回8. [新趋势 学科内综合]如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，圆上的一点 A (滚动前与原点重合)由原点到达点 B ，则点 B 表示的数是 ⁠.【点拨】先求出圆的周长，再确定点 B 表示的数.2π　 返回易错点　对有理数与数轴上点的关系，易产生“一一对应”的错误认识9. 下列说法：①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数.其中正确的有(　A　)必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！