（人教A版）必修二高一数学下学期期末培优训练 三角恒等变换(2份，原卷版+解析版)

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1．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平方关系式求出，再根据及两角差的余弦公式可求出结果.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，
所以.
故选：B
2．在中，已知，则__________.
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系求得的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】在中，已知，故为锐角，
则,
故,
故答案为：
题型二：用和差角的余弦公式化简求值
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.
【详解】因为，所以，则，所以，
所以， 故选：B.
4．已知,都是锐角,,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.
【详解】由于,都是锐角,则,,因为,,
所以,,所以,,
所以
.故选:B
题型三：逆和差角的余弦公式化简求值
5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据余弦两角差公式逆用计算即可得答案.
【详解】.故选：D.
6．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，.故选：C.
题型四：已知两角正、余弦，求和差角的正弦
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，利用差角公式求解答案.
【详解】因为，所以，所以；
.故选：A.
8．已知均为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.
【详解】由得，
又，即
又均为锐角，所以
故选：C
题型五：用和差角的正弦公式化简、求值
9．若则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将按照两角和的正弦公式展开,化简即可得出结果.
【详解】解:因为,即,
即,即.故选:B
10．已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则下列式子的结果不等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和差公式和诱导公式依次化简各个选项即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：C.
题型六：逆和差角的正弦公式化简、求值
11．函数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由两角和的正弦公式得，由三角函数的有界性得到结果．
【详解】，因为，所以，
所以函数的最大值为，故选B．
12．已知 ， 且 为第四象限角， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正弦公式求得，根据同角的三角函数关系求得，即可求得答案.
【详解】由可得，即，
因为 为第四象限角，故，所以，故选：A
题型七：已知两角正、余弦，求和差角的正切
13．若是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】因为是第二象限角，且，所以，
则，故.故选：D.
14．若，则（ ）
A．B．C．－D．－3
【答案】D
【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系结合条件求得，再结合正切的差角公式即得.
【详解】因为，所以，即，
所以，所以.故选：D.
题型八：用和差角的正弦公式化简、求值
15．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两角和的正切公式计算．
【详解】．故选：D．
16．已知、是方程的两个实数根（不妨设），且、，则的值（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式可求得，求出的取值范围，即可得解.
【详解】由韦达定理可得，，
又因为且、，故，则，，
所以，，因为，因此，.故选：B.
题型九：逆和差角的正弦公式化简、求值
17．（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.故选：C.
18．的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】由正切的和角公式展开、移项整理即可得出答案.
【详解】因为
所以 所以 故选：B.
题型十：二倍角的正弦公式
19．等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二倍角的正弦公式直接得出答案.
【详解】，故选：C.
20．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】注意到，后结合角度范围可得答案.
【详解】注意到，
又，则.故选：D
题型十一：二倍角的余弦公式
21．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式即可求得结果.
【详解】因为，所以.故选：A.
22．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式化为同角，再利用二倍角公式即可.
【详解】解：原式=.故选：A.
23．已知，则________.
【答案】/
【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果.
【详解】.故答案为：.
题型十二：二倍角的正切公式
24．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接由二倍角的正切公式计算即可.
【详解】由二倍角的正切公式得.故选：C.
25．（多选）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用正切的二倍角公式判断A，利用同角三角函数关系判断B，利用正弦的二倍角公式判断C，利用正切的两角差公式判断D.
【详解】由题意得，A错误；又是第三象限角，，所以由解得，，B正确；，C正确；，D错误；故选：BC
题型十三：半角公式
26．若，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值.
【详解】因为，所以，又因为，，
所以，即，所以，
又因为，所以，．故选：B．
27．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号.
【详解】方法一：∵，，∴.
方法二：∵，，∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，∴故选：C
28．若，是第二象限角，则（ ）
A．B．3C．5D．
【答案】C
【分析】由题知，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.
【详解】解：因为，是第二象限角，所以，
所以.故选：C
题型十四：积化和差
29．（ ）
A．+cs 4xB．sin 4x
C．+cs 4xD．+sin 4x
【答案】D
【分析】利用积化和差求解,
【详解】解：，，
，故选：D.
30．已知，则等于（ ）
A．－mB．m
C．－4mD．4m
【答案】B
【分析】由积化和差公式变形可得.
【详解】.
故选：B．
31．（多选）给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据两角和与差的正弦以及余弦公式，展开化简即可得出答案.
【详解】对于A项，因为，，
所以，
所以，故A项错误；
对于B项，因为，，
所以，
所以，故B项正确；
对于C项，因为，，
所以，
所以，故C项错误；
对于D项，因为，，
所以，所以，故D项正确.
故选：BD.
题型十五：和差化积
32．的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】使用和差化积公式将化为后，再用诱导公式将化为即可.
【详解】原式
.故选：A.
33．已知，求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用和差化积公式求得正确答案.
【详解】利用及和差化积公式可得：
，
两式相除可得：.故选：D
34．（多选）下列等式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】先证明和差化积公式，然后验证各选项．
【详解】因为，
，
从而有，，
对于A，；对于B，；
对于C，；对于D．．
故选：ABC．
题型十六：sin2x的降幂公式及应用
35．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】
.故选：A.
36．在中，已知，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】结合降幂公式得到，所以或，从而可判断三角形的形状.
【详解】因为，所以，即，所以或，故或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选：D.
题型十七：cs2x的降幂公式及应用
37．已知，，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】由于，所以，所以由化简得，两边平方得，即，解得（负根舍去），由于，所以.故选：A.
38．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求函数的值域.
【详解】（1）
，所以的最小正周期为；
（2）因为，所以.所以.
所以.所以函数的值域是.
题型十八：sinxcsx的降幂公式及应用
39．（多选）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据三角函数变换结合条件可得，进而，即得.
【详解】因为，
所以，又函数为偶函数，
所以，即，所以的值可以是，.故选：BC.
40．已知函数，若在区间上单调递减，且函数图象关于对称，则的值是___________．
【答案】/1.75
【分析】由题可得，根据三角函数的性质结合条件即得.
【详解】因为，又在区间上单调递减，
∴，即，
所以，，所以，，又，∴，又函数图象关于对称，∴，即，∴.故答案为：.
题型十九：辅助角公式
41．______________．
【答案】
【分析】结合二倍角和辅助角公式求解即可.
【详解】.故答案为：.
42．已知当时，函数取得最小值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角函数的诱导公式，求出，再根据商数求解即可．
【详解】由函数，其中，，
所以当，函数取得最小值为，所以，，
所以，所以．故选：B．
43．（多选）设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由题得，求函数的零点，由条件列不等式求其解可得的范围即可.
【详解】因为，所以，
令，解得，因为，所以函数的最小的正零点为，
由已知可得，即．故选：BD.
题型二十：三角恒等变换的化简问题
44．已知函数，，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
，即，
∴的最小正周期为.故选：B
45．设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化简，再利用的性质即可得到结果.
【详解】因为，，，由的性质可知，，故选：A.
题型二十一：给角求值型问题
46．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.
【详解】原式
.
故选：D.
47．（多选）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据诱导公式可得，然后利用二倍角公式和两角和与差的三角函数，逐项判断即得.
【详解】因为，A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. ，故错误；故选：BC.
题型二十二：给值求值型问题
48．已知，且，那______.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，所以，
又因为，所以.故答案为：.
49．已知，满足．
(1)求的值；
(2)若是锐角，且，求．
【详解】（1）由诱导公式得，①
∴,∴，而，
∴，∴，∴，②
由①②得：，∴.
（2），∴，
又，∴,
∴．
题型二十三：给值求角型问题
50．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，故选：D
51．已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，则，
所以.故答案为：.
题型二十四：利用三角恒等变换判断三角形形状
52．在中，若sinA=2csBsinC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据三角形内角和与两角和差的正弦公式化简即可
【详解】由题意，故，所以，，故，故该三角形的形状是等腰三角形.故选：C
53．已知角A，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则
C．若是锐角三角形，则
D．若，则一定是锐角三角形
【答案】B
【分析】对A，两角的正弦值相等，则两角相等或者互补；
对B，由正弦定理可得，即可得；对C，由正余弦函数单调性即可判断；
对D，由，结合角的范围可得均为锐角，再由结合和差公式、，即可得，得C为钝角.
【详解】对A，，则或，∴或，故不一定是等腰三角形，A错；对B，，由正弦定理得，，B对；
对C，是锐角三角形，当时，，C错；对D，由，∵不能同为钝角，∴不能同为负，则同为正，即均为锐角；
又，
即，∴C为钝角，D错.故选：B
题型二十五：三角形中的三角恒等式
54．已知的内角的对边分别为.若，则角大小为_____.
【答案】
【解析】根据三角形内角和以及诱导公式将转化为，利用两角和公式，可求出，再用正弦定理，即可求解.
【详解】因为所以
所以所以因为，所以，
则，所以，又，则，因为，所以，故.
故答案为:.
55．在中，为它的三个内角，且满足，，则______.
【答案】
【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果.
【详解】由题意可知，将两边同时平方得将两式相加得，即，所以可得或；
又因为，得，由余弦函数单调性可得，所以不合题意；
因此.故答案为：
题型二十六：三角恒等变换的综合问题
56．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍．
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
57．已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由已知，有
.
所以，的最小正周期.
（2）时，，当，即时，取到最大值，
当，即时，取到最小值.
所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
58．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)设，，求的值．
【详解】（1）,
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）,由得，
，
所以.
59．已知A，B是单位圆O上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限，记且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【详解】（1）解：由题意知，可得，
因为点B在第二象限，即，所以，
又由.
（2）解：由，
因为，，所以，，
所以，即.
60．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若在上存在最小值，求实数t的取值范围；
(3)方程在上的两解分别为，求的值.
【详解】（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）当时，，
因为在上存在最小值，所以，所以.实数t的取值范围为.
（3）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
所以，，同理，
，
由于，且，，则，
由，可得.