（人教A版）必修二高一数学下学期期末培优训练 解三角形(2份，原卷版+解析版)

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1．在中，“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要
【答案】C
【分析】根据三角形内角的性质知：、都有，由等价法知条件“”、“”之间的充分、必要关系.
【详解】∵中，由正弦定理，∴当必有，根据三角形中大边对大角知：；当时，在三角形中由，有或 成立，即；∴“”是“”的充要条件.故选：C
2．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解；
【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即，
故选：BD
题型二：正弦定理解三角形
3．在中，角所对应的边分别为．若，则__________．
【答案】
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】因为，所以．故答案为：.
4．如图，在中，已知，，.
(1)求AD的长；
(2)若，点E，C在直线AD同侧，，求的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
在中，由余弦定理，
得，
所以.
（2），
在中，由正弦定理得，，即，解得，
而，于是，有，
中，由正弦定理得：，
令，则，，
因此，
因，则，有，
即，，所以的取值范围为.
题型三：正弦定理判断三角形解的个数
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，B=45°，若三角形有两解，则b的取值范围是______．
【答案】
【分析】由正弦定理可得，由有两解，可得，且，从而即可求解.
【详解】由正弦定理可得，即，又，所以，
因为有两解，所以，且，所以，所以的取值范围为,
故答案为：.
6．（多选）在中，内角、、的对边分别是、、，下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，，则为等边三角形
D．若，，，则有两解
【答案】AC
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利用正弦定理求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，由正弦定理可得，则，所以，为等腰三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，因为、中至少有一个是锐角，则，从而可知、均为锐角，由可得，
因为、，则、，所以，或，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，因为，，由余弦定理可得，即，
所以，，因此，为等边三角形，C对；
对于D选项，因为，，，由正弦定理得，所以，不存在，D错.故选：AC.
题型四：正弦定理求外接圆半径
7．在中，，且的外接圆的半径，则边________．
【答案】
【分析】应用正弦定理求解即可.
【详解】在中，,由正弦定理可得,所以,故答案为: .
8．中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求边、的长度；
(2)求的面积及其外接圆半径.
【详解】（1）因为，所以在中，，
由正弦定理得：，也即，所以；
（2）由三角形的面积公式可得：的面积，
由正弦定理可得：外接圆半径.
题型五：正弦定理边角互化的应用
9．在中，角A，，的对边分别为，，，若，则角A与角的关系为（ ）
A．B．
C．且D．或
【答案】D
【分析】利用正弦定理和余弦定理求得，，之间的关系，进而得到角A与角的关系.
【详解】由，可得，则，则，
则，则，整理得，
则或，则或.故选：D
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的外接圆半径为，
(1)求角C；
(2)若的面积为，求的周长.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由正弦定理，可得，
因为的面积，即，可得，
由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以的周长为.
题型六：三角形面积公式及其应用
11．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的取值范围为_________.
【答案】
【分析】根据正弦定理化简已知表达式，再结合余弦定理即可求得，表达面积，再用基本不等式即可求得.
【详解】因为，则由正弦定理得：，化简得，因为，代入化简得，，则，
所以，面积；又，解得，当且仅当时，等号成立，所以，故三角形面积的取值范围是.故答案为：
12．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为，求的值．
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
∵
∵， ∵ ∴.
（2）∵ ∴,
又∵ ∴,所以．
题型七：余弦定理及辨析
13．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则___________．
【答案】
【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.
【详解】已知，由余弦定理得，解得.
故答案为：.
14．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用余弦定理可判断出选项AB，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C正确，D错误.
【详解】根据余弦定理可得；
即，所以B正确，A错误；根据两角和与差的正弦公式可得：
即C正确；
对于D：
，所以D错误.
故选：BC
题型八：余弦定理解三角形
15．在中，其三边分别为，，且三角形的面积，则角__________.
【答案】/
【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出的值，即可求解出的值.
【详解】因为，所以，则，
又，所以.故答案为：.
16．△ABC中，角的对边分别为，若，且．
(1)求角B的值；
(2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长．
【详解】（1）因为
由正弦定理得所以，或
又因为，则，故故答案为：
（2）由（1）知，又，所以 ，则，所以.
又，所以，
在中，，由余弦定理得，
所以.
故答案为：
题型九：余弦定理边角互化及应用
17．在中，若，且，则是（ ）.
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对
结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，整理得，则，
因为，所以，又由，得化简得，所以为等边三角形，故选：B
18．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．
【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，
整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．
（2）因为，所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得，
又，所以，所以，
当时，取最小值，且最小值为．
题型十：余弦定理判断三角形形状
19．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____.
【答案】等腰三角形
【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果.
【详解】因为，所以由正弦定理可得，又在中,
所以，
所以即，
由，故，则此三角形的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形
20．在△ABC中，若，则△ABC的形状是________.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【分析】由已知及余弦定理可得，即可判断△ABC的形状.
【详解】[方法一]：由余弦定理，，化简得，
∴或，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
[方法二]：由可知，，即，，
由正弦定理结合题意可得，即，
据此有或，即或.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
题型十一：证明三角形中恒等式或不等式
21．的三边分别为a,b,c,若是锐角三角形,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据是锐角三角形,令,然后逐项判断排除即可.
【详解】解:是锐角三角形,可令,,A错误;
,C错误;,D错误;,B正确.
故选:B
22．（多选）在中，下列说法正确的是（ ）
A．若是锐角三角形，则
B．若，则
C．不存在满足
D．若，则
【答案】BCD
【分析】逐一判断，对A，两角和大于，利用正弦定理以及诱导公式即可判断正误；对B使用正弦定理判断即可；对C，由化简计算；对D，利用，化简即可.
【详解】对A，由是锐角三角形，所以，则，
所以，即，故A错；
对B，由，则，故，所以B正确；
对C，在中，由，则，故，则，所以C正确
对D，由，所以，则，又，所以，故D正确
故选：BCD
题型十二：求三角形中周长或边长的取值范围
23．在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
【详解】（1）由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，即，.
（2）由余弦定理得：，则.
由正弦定理得所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.中线长的取值范围是.
24．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，得．
故，因为，故．
（2）由正弦定理得：，
所以，．
又，则，所以，又，
所以周长的取值范围是．
题型十三：几何图形中的计算
25．如图，已知是半径为的圆的直径，点，在圆上运动且，则当梯形的周长最大时，梯形的面积为__________．
【详解】连接，设，，过点作交于点，过点作交于点，设圆的半径为，则，则，，
因为，所以，则，即梯形为等腰梯形，
所以，
所以，
所以当，即时，，所以，，，所以，，所以.
故答案为：.
26．如图，在中，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，，求.
【详解】（1）在中，由正弦定理知：，即
又，可得，
在中，所以，所以.
（2）不妨设，则
在中，由余弦定理知；
在中同理可知：
在中，
即有解得.
题型十四：求三角形面积的最值或范围
27．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.
【详解】因为，所以，即；
由正弦定理可得，所以；
当时，取到最大值.故选：A.
28．在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)点为边的中点，，设，求面积的最大值.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，则，故，又，所以.
（2）在中，，
所以由余弦定理得，即，
又，当且仅当时，等号成立，则，
所以，此时，故面积的最大值为.
题型十五：正余弦性质余与三角函数性质结合应用
29．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【详解】解：（1）据图象可得，故，由得：．
由得：．由知，，
，解得，；
（2），，
，，，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
30．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设，求面积的最大值及此时的值.
【详解】（1）在中，，，
由，得，解得；
（2）∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，又，，
记的面积为，则，
∴时，取得最大值为.
题型十六：距离测量问题
31．一艘海轮从处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东，那么 B、C 两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.
【详解】依题意，如图，在中，
，则，
由正弦定理得，即 ，因此（海里），
所以两点间的距离是 海里．故选：A
32．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.
【答案】
【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解.
【详解】在中，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理得：
所以(米).
故答案为：.
题型十七：高度测量问题
33．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为________m．
【答案】/
【分析】根据正弦定理求得；利用直角三角形求得树高.
【详解】由正弦定理得：，又，
所以，所以树高（），
故答案为：
34．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）
【答案】
【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得．
【详解】设山高，则，延长交于，如图，
则，因此，，，，
在中由正弦定理得，所以，
故答案为：．
题型十八：角度测量问题
35．前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出图象，然后利用余弦公式求解即可
【详解】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，，
所以在中，，因为，所以，故选：A
36．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设在点处相遇，设，则，再利用正弦定理求解即可.
【详解】如图所示：设在点处相遇，设，则，
由题知：，由正弦定理得：，解得.
因为，所以，即.故选：B
题型十九：正余弦定理的其他应用
37．如图，在海岸边的观测站点发现南偏西方向上，距离点海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向正南方向逃窜．
(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
(2)缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
(1)由题意知：，，．
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得：，解得：，．
则刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上．
(2)如图，
设小时后缉私艇在处追上走私船，则，，．
在锐角中，由正弦定理得：，解得：，
则，．，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：，则缉私艇至少需要小时才能追上走私船．
38．如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为32cm，容器甲的底面直径的长为，容器乙的两底面直径，的长分别为和．分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为．现有一根玻璃棒，其长度为．（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将放在容器甲中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度；
（Ⅱ）将放在容器乙中，的一端置于点处，另一端置于母线上点处，求浸入水中部分的长度．
【详解】（Ⅰ）由题意知，四边形为矩形，记交于，过作于．
在中，，，则，∴，
在中，，从而浸入水中部分的长度为．
（Ⅱ）由题意知，四边形为等腰梯形，过作，为垂足．
在中，，，则，
∴，．在△中，设，，易知，
∴，，由正弦定理可知，，即，可得，
由于为锐角，故，
∴，
记与交于，过作，垂足为．
在中，，从而浸入水中部分的长度为．
题型二十：综合应用
39．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论不正确的是（ ）
A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B．若，，则
C．若AB=2AʹBʹ，则
D．若Aʹ是ABʹ的中点，则三角形ABC的面积是三角形AʹBʹCʹ面积的7倍
【答案】C
【分析】利用线段相等得出点重合判断A，利用正弦定理求解判断B，利用余弦定理解三角形判断CD．
【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则，从而三点重合，不合题意，A正确；
选项B，若，，设，则，，
，
在中由正弦定理得，解得，B正确；
选项C，若AB=2AʹBʹ，记，，设，则，
在中由余弦定理得，，（负值舍去），，C错误；
选项D，若Aʹ是ABʹ的中点，设，则，，
由余弦定理得，
，而，所以，D正确．故选：C．
40．如图，在中，，M，N分别为的中点．
(1)若，求．
(2)若，求的大小．
【详解】（1）由得，为直角三角形，
又因为M，N分别为的中点，所以
所以所以
因为，所以
所以，所以.
（2）由(1)知，,所以,
同理,,
所以,所以,所以,所以.