（人教A版）必修一高一数学上学期期末考点训练常考题型23 三角恒等变换（2份，原卷版+解析版）

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1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2.二倍角公式
①
②；；
③
3.降幂公式

4.辅助角公式：
(其中)
5.半角公式
（1）.
（2）.
（3）.
6.常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④
1.万能公式
（1）（2）（3）其中
2.和差化积公式
3.积化和差公式
4.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
5.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等
6.凑角基本思路
先判断角是否是2倍关系：
（1）若是2倍关系，则单倍角乘以2变成同倍角；
（2）若不是2倍关系，则为同倍角，则采用诱导公式或两角和差公式，将两角进行相加减（异号相加，同号相减）
7.三角函数的简单恒等变换
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点
探究一：两角和与差的三角函数
若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
思路分析：
根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．
【答案】B
【详解】解：、是方程的两个根，，，
，，即、,，则，则，故选：B．
【变式练习】
1．已知䌼角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．18
【答案】C
【详解】，，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，等号成立．的最小值为8．故选：C
2．已知函数．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为， ，
所以，，所以，，
所以，因为，所以，，
所以，故选：B
探究二：二倍角公式和半角公式的应用
已知，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．2
思路分析：
根据余弦的二倍角公式以及可得，进而可得，代入即可求值.
【答案】C
【详解】由得，因为，所以，进而得，故，所以，
故选：C
【变式练习】
1．，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】．故选：D.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，，，，所以.故选：A.
探究三：万能公式的应用
已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．
【答案】C
【详解】由得，所以，
又，所以，
由，解得，或（舍去，此时不是锐角），
，是锐角，，，，则，
所以．
故选：C．
【变式练习】
1．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【详解】由①，
，所以②，
由①②可得③，由①③得，，所以角为第二象限角，
所以为第一、三象限角，，故选A.
2．已知直线的倾斜角为，则的值是．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：，选C.
探究四：降幂公式的应用
已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【答案】B
【详解】由题设，，
所以最小正周期为.故选：B
【变式练习】
1．已知，， 则= （ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】D
【详解】因，，则，
所以.故选：D
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵所以，又因为，，
所以，即，所以，又因为，
所以，．故选：C．
探究五：三角恒等式的化简与求值问题
已知，均为锐角，，则＝______．
思路分析：
由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．
【答案】
【详解】，都是锐角，，又，，所以，，
则．故答案为：.
【变式练习】
1．已知，则的值是____.
【答案】
【详解】，
两边平方，可得，可得，．
故答案为：
2．已知，，均为锐角，则___．
【答案】
【详解】因为为锐角，且，则有，，又，则，又为锐角，所以．故答案为：
一、单选题
1．已知锐角、满足，，则等于（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】C
【详解】，为锐角，，，所以，，
，所以的值等于.故选：C．
2．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】∵，∴
.故选：D.
3．已知，则的值为（ ）
A．0B．
C．D．0或±
【答案】C
【详解】因为，
两式相加可得，即.故选：C.
4．已知，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：，即，
解得（舍去）.故选：D.
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以
，故选：D
6．已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，由图像得：，解得：，所以实数的取值范围是.故选：A
7．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，因为，所以，于是，所以．故选：B
8．已知，为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为 ，又
所以.∵，为锐角，且，∴，即，∴，∴，
∴，∴的取值范围为.故选：A
二、多选题
9．若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】解：因为，所以，
因为，，所以，从而，于是，
所以，从而．故选：BC.
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小正周期为
C．的图像关于直线对称D．的图像关于点对称
【答案】ABC
【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.
故选: ABC.
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．的单调递减区间为，
【答案】AC
【详解】对于A选项，因为，
故函数为周期函数，A对；
对于B选项，，为偶函数，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，
，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；
对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，
当时，，且，由可得，
由可得，由可得，
所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，
由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，
因此，函数的单调递减区间为、、，D错.故选：AC.
三、填空题
12．函数的最大值和最小值是、，则________.
【答案】1
【详解】设，即，即，
即，所以，两边平方并化简得，
设关于的方程的两根是，则，
而不等式的解为：，即分别是函数的最小值和最大值，所以.故答案为：1.
13．已知函数，则下列结论中正确的是___________．
①函数的最小正周期为 ②时，取得最大值
③在上单调递增 ④的对称中心坐标是
【答案】①③
【详解】；对于①，的最小正周期，①正确；
对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；
对于③，当时，，此时单调递增，③正确；
对于④，令，解得：，此时，
的对称中心为，④错误.故答案为：①③.
14．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则_________.
【答案】2
【详解】.故答案为：2.
四、解答题
15．已知，．求：
(1)的值．
(2)的值．
【答案】(1)．(2)．
【详解】（1）依题意，，则，
，
，，代入，
得，，
，解得，所以.所以.
（2）由（1）得，，
.
16．（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）在中,，求角.
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）依题意，；
（2）
；
（3）由,可得,由两角和的正切公式得，
因为为三角形内角，故，可得，由诱导公式得，
又,所以.
17．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1），
；
（2），，
∵，∴.
18．设函数.
(1)设，在处取得最大值，求；
(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】(1)解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，所以，
所以，，，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，综上，；
(2)解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，所以，
因为，所以，因为，所以，解得，
所以的取值范围为.