（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练专题18 三角恒等变换（2份，原卷版+解析版）

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）．
（2）差角公式
（），
（），
（）．
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
3、降幂公式
，
，
．
4、半角公式
，
，
．
其中，符号由所在象限决定．
5、辅助角公式
，其中，．叫做辅助角，的终边过点．
【典型例题】
例1．已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，，所以，
又，所以由，解得，
所以，
又，，故，所以．
例2．若，求的值．
【解析】，，，
，，
或1，即或1，
，，，．故答案为：．
例3．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）因为．
所以的最小正周期，
∵，∴，
所以的单调递减区间为；
（2）由（1）知的单调递减区间为，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
又，故；
另∵，∴，
∵在单调递增，在上单调递减，
∴当时，，∴当时，；
（3）∵，∴，由，得，
∴，∴，
．
例4．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
【解析】（1），
；
（2），，
∵，∴.
例5．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【解析】（1）因为，，所以，，
所以，，
所以
.
（2）因为，，所以，
所以，
所以.
例6．已知函数，.
(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间；
(2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）由
.
函数的最小正周期为，
令得，故对称轴为，
由得，即单调增区间为.
（2）设图像上任意一点为，点关于对称的点在函数上，即
，
又，所以，则，故，
所以；.
【过关测试】
一、单选题
1．若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
.故选：D.
2．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，故选：D.
3．（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，.
故选：C
5．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.故选：C.
6．已知函数，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，
，由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，所以，故的值域为.
故选：A
7．若函数取最小值时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，其中，
因为当时取得最小值，所以，
故.故选：B.
8．已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，即，化简得，
所以，即，
所以，故选：C.
二、多选题
9．若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意得，所以，所以的值可能为，．故选：AC
10．关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．其表达式可写成
B．曲线关于点对称
C．在区间上单调递增
D．，使得恒成立
【答案】ABD
【解析】 ，
，所以A不正确；当时，有，所以B不正确；
当时，有，因为，所以C正确；
的最小正周期，若，使得恒成立，说明是f(x)的一个周期，而，与“f(x)最小正周期为”矛盾，因此D不正确．故选：ABD
11．下列说法正确的有（ ）
A．，
B．不存在无穷多个和的值，使得
C．存在这样的和的值，使得
D．当取最大值时，
【答案】CD
【解析】A：，错误；由，要使已知条件成立，则即可，故存在无穷多个和的值，B错误，C正确；
D：由且，故，则，解得，正确.
故选：CD
12．在平面直角坐标系xOy中，圆心为O的单位圆与x轴正半轴的交点为A，角的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点，，，以下命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，由三角函数的定义可知，，故选项A正确；
对于B：因为的终边与单位圆相交于点又，所以，故B正确；
对于C，由三角函数的定义可知，，由可知，点在第二象限，
则，
所以，故选项C错误；
对于D：因为，所以，所以，
因为，所以，所以，即，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．的值为_________.
【答案】1
【解析】因为，
所以；故答案为：1.
14．已知，则______．
【答案】
【解析】因，所以
故答案为：
15．已知函数（为实数）的最大值为，则的值为___________.
【答案】
【解析】的最大值为，则，，所以，，
所以故答案为：1
16．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为_______．
【答案】
【解析】因为，所以是偶函数，
又因为，所以是的一个周期，
所以当时，，
因为，所以，由结论（1）可得在区间上的取值范围也为，
即在区间上的取值范围为，又由结论（2）可得在定义域上的值域为，
故答案为：
四、解答题
17．已知是方程的两根，且求：
(1)
(2)
【解析】（1）因为是方程的两根，
所以，所以；
（2）因为，所以，
故，所以，所以.
18．设函数
(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；
(2)若且，求的值.
【解析】（1）因为
，即，所以的最小正周期为．
令，解得，，所以函数的对称中心为．
（2）因为，即，所以，
因为，所以，所以，
所以
19．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作钝角和锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，过分别作轴于点轴于点，线段的长分别为.
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）因为，所以，
所以；
（2）由题可知，所以，所以，
由（1）可得，所以.
20．已知的内角分别为A，B，C，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
【解析】(1)因为，所以，解得或，
由于，所以，可得；
(2)
，
因为，所以，则，所以，
所以的取值范围是.
21．已知.
(1)证明：；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，证明：函数在上有且仅有两个零点.
【解析】(1).
(2)当时，，
当或，即或时，单调递减；
当，即时，单调递增；
综上所述：在和上单调递减；在上单调递增.
(3)在的零点个数等价于与的图象在上的交点个数；
，，，，
大致图象如下图所示，
当时，由图象可知：与有有且仅有两个不同的交点，
函数在上有且仅有两个零点.
22.已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
【解析】(1)①
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，
令，故当时，有个不同的实数根，
由，可得或，
因为有个不同的实数根，所以有个不同的实数根，且，
故的取值范围为；
(2)由题意可得，，
因为为的零点，直线为图象的对称轴，
所以，，，，
得，，所以，
因为，，所以，即为正奇数，
因为在上单调，则，即，解得，
当时，，，因为，所以，此时，
当时，，所以当时，单调递增，
当时，单调递减，即在上不单调，不满足题意；
当时，，，因为，所以，此时，
当时，，此时在上单调递减，符合题意．
故的最大值为．