（人教A版）必修二高一数学下学期期末培优训练 复数(2份，原卷版+解析版)

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1．下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
【答案】C
【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．
【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
2．复数的知识结构图如图所示，其中四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数.纯虚数､无理数､有理数
B．实数､虚数､负实数､正实数
C．实数､虚数､无理数､有理数
D．实数､虚数､有理数､无理数
【答案】C
【分析】由复数与实数､有理数､无理数的包含关系即可求解.
【详解】由复数与实数､有理数､无理数的包含关系知正确.
故选：.
题型二：复数的实部与虚部
3．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．－2B．C．2D．
【答案】C
【分析】计算，得到复数的虚部.
【详解】，则.故复数的虚部是.故选：C
4．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得.
【详解】，由于复数的实部与虚部相等，
则，解得.故选：A.
5．若复数z满足，则的实部为（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】设复数，则,故根据可求得，
结合复数的乘方运算，可求得答案.
【详解】设复数，则，则由可得且，
解得，故，其实部为.故选：C.
题型三：复数的相等
6．已知实数x，y满足，则（ ）
A．2B．4C．D．8
【答案】C
【分析】先通过条件求出，再代入求模即可.
【详解】由得，，解得，
.故选：C.
7．若复数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数相等可得出关于实数的等式组，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，解得.故选：B.
题型四：复数的分类
8．已知是纯虚数，是实数，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是纯虚数，设，求出，根据是实数，求出后可得.
【详解】因为是纯虚数，故可设，所以，
因为是实数，所以，即，所以.故选：A
9．已知是虚数单位，复数，．
(1)当复数为实数时，求的值；
(2)当复数为纯虚数时，求的值；
【详解】（1）为实数，，解得：或.
（2）为纯虚数，，解得：.
题型五：复数的坐标表示
10如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，且复数，若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先从图象得到再利用乘除运算得到，根据在复平面内的对应点关于虚轴对称即可求解
【详解】复数，
所以在复平面内的对应点的坐标为，又在复平面内的对应点关于虚轴对称，
所以在复平面内的对应点的坐标为，，
故选：D.
11．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A．B．C．2D．5
【答案】B
【分析】由复平面对应的点写出复数的代数形式，然后求出，进而可求模.
【详解】由已知复数，的代数形式为，，，
故选：B.
题型六：实轴、虚轴上的点对应的复数
12．复数z在复平面内对应的点是，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求出z，再进行的计算.
【详解】∵复数z在复平面内对应的点是，∴∴故选：A.
题型七：判断复数所在的象限
13．已知，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概念求得，由复数的几何意义可得结论．
【详解】由题意，
，对应点坐标为，在第一象限，故选：A．
14．复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的运算律求出复数，再求出对应的点即可.
【详解】，故在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选:D.
15．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限B．为纯虚数
C．的模长等于D．的共轭复数为
【答案】D
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.故选：D.
题型八：根据复数坐标写出相应的复数
16．已知在复平面内，复数所对应的点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义表示出复数，再代入所求式子，利用复数的运算法则化简即可得到所求结果.
【详解】依题意，.故选：A.
17．在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式，再求其共轭复数和模，并应用复数的除法化简即可.
【详解】由题设，，所以，，
故.故选：B
题型九：根据复数对应坐标的特点求参数
18．若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】由复数的对应的点位于实轴上，可得其虚部为0，结合条件列方程可求.
【详解】因为，由题意可得z为实数，所以，所以．
故选：C.
19．在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求得，结合复数的几何意义可得，由此求得答案.
【详解】由得，又复数对应的点的坐标是，即，
故选：A
题型十：求复数的模
20．若复数，则__________.
【答案】
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】，所以.故答案为：.
21．已知复数（为虚数单位），则的最大值为________.
【答案】3
【分析】根据复数模长公式以及三角函数的有界性即可求解.
【详解】由题意可得，所以，
由于，所以 ，因此，故的最大值为3，
故答案为：3
题型十一：由复数的模求参数
21．已知复数（其中i为虚数单位），若，则（ ）
A．1B．C．1或D．或5
【答案】C
【分析】根据复数的除法求得，再根据复数的模的计算公式，求得答案.
【详解】由题意得，则，所以，解得或，
故选：C
22．若复数的模等于，则实数______．
【答案】
【分析】利用复数的除法运算化简复数，结合复数模的公式可求解的值.
【详解】解：因为复数，所以，解得，.
故答案为：.
题型十二：与复数的模相关的轨迹
23．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.
【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D.
24．若，且，则的最大值是_______．
【答案】
【分析】由复数模的几何意义求解．
【详解】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．故答案为：．
题型十一：共轭复数
25.在复平面内，与复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】得到共轭复数及对应的点的坐标，求出所在象限.
【详解】复数的共辄复数为，故对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A
26．若复数，则（ ）
A．B．2C．1D．3
【答案】C
【分析】计算得到，再计算模长得到答案.
【详解】，.故选：C
27．设复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B．C． D．2
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求得复数 ，继而得，从而求得答案.
【详解】由可得，故，则的虚部为2，
故选：D
题型十二：复数的加减
28．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合向量、复数运算求得正确答案.
【详解】依题意.故选：D
29．若，则等于（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法公式可得，再根据共轭复数的概念及复数的加法运算即可求解.
【详解】,所以.故选：B
30.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则__________．
【答案】
【分析】首先表示出，，再根据复数代数形式的加法运算求出，从而求出其模.
【详解】解：依题意可得，，所以，，
所以，所以.
故答案为：
题型十三：复数的乘除
31．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．－2B．C．2D．
【答案】C
【分析】计算，得到复数的虚部.
【详解】，则.故复数的虚部是.故选：C
32．若，则（ ）
A．B．C．2D．10
【答案】C
【分析】计算，再计算得到答案.
【详解】，则，则.故选：C
33．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D
34．已知为实数，并且的实部与虚部相等，则__________.
【答案】/
【分析】利用复数的四则运算化简所求复数，利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为，
由题意可得，解得.故答案为：.
题型十四：复数的乘方
35．已知（i是虚数单位），则（ ）
A． B．1C．0D．i
【答案】B
【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i的性质，即可求得答案.
【详解】由题意,故选：B
36．已知为虚数单位，计算：__________.
【答案】
【分析】利用复数的运算化简可得结果.
【详解】原式.故答案为：.
题型十五：复数的平方根和立方根
37．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______．
【答案】19
【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出
【详解】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，
所以，解得，所以，故答案为：19
38．（多选）下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则的最大值为D．若，则
【答案】AC
【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解方程，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设，则，
，，则，从而，A选项正确；
对于B选项，取，则，但，B选项错误；
对于C选项，由复数模的三角不等式可得，C选项正确；
对于D选项，由，可得或，
由，则，解得或，D选项错误.
故选：AC.
题型十六：复数的综合运算
39．已知关于x的方程的两个根是、.
（1）若为虚数且，求实数p的值；
（2）若，求实数p的值.
【答案】(1) .(2) 或.
【详解】分析：（1）根据韦达定理得到=25，进而求得结果；（2）分两种情况和 ，再结合韦达定理得到结果.
详解：（1），，，∴；
（2），，若，即，则，∴；
若，即，则，∴；综上，或.
点睛：这个题目考查的是韦达定理在二次方程中的应用，无论是有两个实根,还是既有实根也有虚根的情况，韦达定理均试用.
40．已知复数.
（1）求；
（2）若，求实数，的值.
【答案】（1）；（2），．
【详解】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．
试题解析：（1）∵，∴；
（2）∵，∴．
考点：复数的计算．