九年级下数学试卷素养拓展之跨学科问题—重点题型专练（含答案解析）

这是一份九年级下数学试卷素养拓展之跨学科问题—重点题型专练（含答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 对任意实数，可用表示不超过的最大整数，例如，，若将变换成称为对进行一次操作，例如：现对54进行如下操作，这样对54进行3次操作后变为1，对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对37进行一次操作后的结果是6；
②对138进行两次操作后的结果是3；
③对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是0；
④若正整数进行3次操作后变为1，则的最大值是225．
2. 中，，按照以下操作：
第一步，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；
第二步，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点；
第三步，连接．
根据上面操作，甲、乙两位同学分别写出了一个结论．甲同学结论：；乙同学结论：的周长为1.8．下面说法正确的是（ ）
3. 如图，将半径为单位1的圆放在数轴上，点A与原点O重合，按下列步骤操作：①将圆沿着数轴向右滚动一周，点A到达点处（如图①）；②将圆沿着数轴向左滚动两周，点A1到达点处（如图②）；③将圆沿着数轴向右滚动三周，点到达点处；…则点表示的数是（ ）
4. 题目：“如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：或，则正确的是 （ ）
5. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推，得出下列说法中：①；②，③，正确的有（ ）个．
6. 小雅同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图1将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图2，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则到的距离为（ ）
7. 将有序实数对进行操作后可得到一个新的有序实数对，将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如，经过一次操作后得到经过二次操作后得到．下列说法：
①若经过三次操作后得到，则；
②在平面直角坐标系中将所对应的点标记为点，将经过二次操作、三次操作所得的有序实数对分别标记为点，点，若线段平行于轴，则的面积为1；
③若，则经过一次操作后的结果为．其中正确的个数是（ ）
8. 如图，已知平行四边形纸片，，，．现将纸片作如下操作：第1步，沿折痕折叠纸片，使点落在边上；第2步，再沿折痕折叠纸片，使点与点重合．若，则的长为（ ）
9. 已知一个分式（m为整数），对该分式的分母与分子分别加1，称为第一次操作，记为，对的分母与分子分别加1，称为第二次操作，记为，……通过实际操作，下列说法正确的有（ ）
①；
②若，则m的值为2；
③已知第四次操作后得到的分式可以化为整数，则m的值共有6个，
10. 如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线上的点H处，如图④．
则的长为（ ）

11. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点D与原点O重合，点A在x轴正半轴上，，点C在y轴正半轴上，．开始如下操作：把矩形的点D从原点O沿着y轴正半轴向上移动，点A随之在x轴正半轴上向左移动，其他点跟着相应移动，当点A与原点O重合时这个矩形停止移动．在移动过程中矩形的形状与大小保持不变，则点C离原点最远时，其与原点的距离为（ ）
12. 已知两个整式：，x，将这两个整式进行如下操作：
第一次操作：将这两个整式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为
（即，）
第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；
②当时，；
③若，则；
④在第（为正整数）次和第次操作的结果中：
以上结论正确的有（ ）
13. 如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，为的中点，连接．将正方形绕点顺时针旋转与重合，此时的长为（ ）
14. 如图，一处墙角在地面上呈钝角，王师傅要在墙角铺设宽度相等的长方形木板与．
王师傅按照如下步骤进行操作：
（）如图，将两块宽度相同的长方形木板分别沿与推到顶点处，叠放在一起，并做出标记点；
（）分别在两块木板上锯掉多余部分；
（）将剩余的木板与分别沿与推到钝角顶点处，如图所示．
以上步骤中，有以下说法∶
做出的标记点是；
锯掉的多余部分是与；
过点分别作于点，于点，可以根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”得到平分．
其中正确的是（ ）
15. 如图，对正方形纸片进行如下操作：
（i）过点任作一条直线与边相交于点（如图①），记；
（ii）作的平分线交边于点（如图②），记；
（iii）作的平分线交边于点（如图③），记；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到，现有如下结论：①当时，；②； ③当时，；④当时， ．其中正确的个数为（ ）
16. 如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则a的值为（ ）．

二、填空题
17. 如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
18. 在综合实践课上，小聪用一张长为4，宽为x（）的长方形纸片进行操作探究，先从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形．则
（1）第一次操作后，剩余长方形的两边长分别为_____________，_____________．（用含x的代数式表示）
（2）宽x的值为_____________．
19. 已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论：
①第3次操作后得到的分式可化为．
②第4次操作后的分式可化为．
③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个．
④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且．
以上四个结论中正确的有______．（只填写序号）
20. 在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：

(1)若，则的值为________；
(2)若点恰好为的中点，则的值为________．
三、解答题
21. 图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
22. 【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：
表1
表2
(1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
(2)【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
(3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
23. 根据以下素材，完成三个任务：
以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．
【问题解决】
【任务1】用1张型和2张型卡片拼成一个长方形，用含的代数式表示这个长方形的周长；
【任务2】现共有10张型卡片，25张型卡片和18张型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；
【任务3】将2张型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含的数学等式表示）要求：4张直角三角形卡片全部使用；型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分．
24. 折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
（1）如图（1），在矩形中，把矩形折叠，使与重合，与重合，展平纸片得到折痕，再第二次折叠，点落在上点，展平纸片得到折痕，连接，，则等于
A． B． C． D．
【深入探究】
（2）如图（2），是矩形边上一点，把矩形折叠，使与重合，展平纸片得到折痕；第二次折叠，点落在上的点 ，落在点 ，展平纸片得到折痕，连接，，，写出与的数量关系，并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图（3），正方形中，是射线上一点，点与点是对称点，是对称轴．点与点 是对称点，是对称轴，点关于的对称点为点 ，连接 ，，，，当时，直接写出的长．
25. 【动手操作】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤：
①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为；
②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点．
线段与的数量关系为________，其理由为：________；
【问题探究】
通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式；
【拓展延伸】
若点（为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标．
26. 综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间的数量关系．如图1，在中，，，为的中点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，点的对应点分别为．连接分别为的中点，连接．
操作发现：
（1）创新小组将旋转至点与点B重合的位置，如图2．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②用等式表示与之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：
（2）智慧小组继续探索，当时，若，请直接写出的值．
27. 数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在边上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接、．
根据以上操作，如图1，当点M在上时，连接，判断的形状并证明．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，且边长为，继续探究，过程如下：
①将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．如图2，当点M在上时，求的长；
②点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，的长为____．
素养拓展之操作探究问题—综合测试基础卷
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的性质、方程与不等式、图形的变化、函数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
第27题：
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A．甲同学结论正确，乙同学结论错误
B．甲同学结论错误，乙同学结论正确
C．甲、乙同学结论都正确
D．甲、乙同学结论都错误
A．
B．
C．
D．
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
A．0
B．1
C．2
D．3
A．
B．
C．
D．
A．0
B．1
C．2
D．3
A．1
B．
C．
D．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A．
B．
C．
D．3
A．26
B．
C．
D．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A．3
B．
C．
D．
A．只有
B．只有
C．只有
D．
A．
B．
C．
D．
A．或
B．或
C．或或
D．或或
电池充电状态
时间t（分钟）
0
10
30
60
增加的电量y（%）
0
10
30
60
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米）
0
160
200
280
显示电量e（%）
100
60
50
30
素材一
某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为宽为的长方形，且．
素材二
将1张型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．
素材三
小组操作发现，将2张型卡片，3张型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：．
题型
数量
单选题
16
填空题
4
解答题
7
难度
题数
较易
2
适中
18
较难
7
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
无理数的大小估算；新定义下的实数运算；利用二次根式的性质化简
2
0.65
线段垂直平分线的性质；作垂线(尺规作图)；三角形内角和定理的应用；等边对等角
3
0.65
图形类规律探索；动点问题（一元一次方程的应用）
4
0.65
求正多边形的中心角；根据旋转的性质求解；根据正方形的性质证明
5
0.65
数字类规律探索
6
0.65
根据等角对等边证明边相等；矩形与折叠问题；用勾股定理解三角形
7
0.65
通过对完全平方公式变形求值；运用平方差公式进行运算；坐标与图形
8
0.65
根据菱形的性质与判定求线段长；解直角三角形的相关计算；利用平行四边形的性质求解；折叠问题
9
0.65
求使分式值为整数时未知数的整数值；解分式方程（化为一元一次）
10
0.4
矩形与折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
11
0.4
三角形三边关系的应用；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半
12
0.65
整式的加减运算；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
13
0.65
正多边形的内角问题；根据旋转的性质求解；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质求线段长
14
0.65
角平分线的判定定理；利用矩形的性质证明；用HL证全等（HL）
15
0.85
全等三角形综合问题；正方形性质理解；角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定
16
0.65
几何问题(一元一次方程的应用)
二、填空题
17
0.65
三元一次方程组的定义及解
18
0.85
几何问题(一元一次方程的应用)；列代数式
19
0.4
分式加减的实际应用；列一元一次不等式
20
0.65
用勾股定理解三角形；矩形与折叠问题；含30度角的直角三角形
三、解答题
21
0.65
作垂线(尺规作图)；用勾股定理解三角形；全等三角形综合问题；轴对称图形的识别
22
0.65
其他问题(一次函数的实际应用)
23
0.65
因式分解的应用；完全平方公式在几何图形中的应用
24
0.4
矩形与折叠问题；正方形性质理解；二次根式的混合运算；等边三角形的判定和性质
25
0.4
线段周长问题(二次函数综合)；一次函数与几何综合；线段垂直平分线的性质
26
0.4
根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；等边三角形的判定和性质；证明四边形是菱形
27
0.4
矩形与折叠问题；正方形折叠问题；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,3,5,7,9,12,18,19,23,24,27
2
图形的性质
2,4,6,8,10,11,13,14,15,20,21,24,25,26,27
3
方程与不等式
3,9,12,16,17,18,19
4
图形的变化
4,8,10,13,21,26
5
函数
7,22,25