人教版（2024）七年级上册（2024）有理数学案

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考点01 正数和负数
正数和负数的定义：
大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。0既不是正数也不是负数。
正数和负数的意义：
表示具有相反意义的两个量。
正负号的化简：
同号为正，异号为负。
【题型1】
1．在−3.5，−227，0.3070809，0，−π中，负数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【题型2】
2．负数的引入，是数学发展史上的一大飞跃．如果盈利100元记作+100元，那么﹣90元表示（ ）
A．盈利10元B．盈利90元C．亏损﹣90元D．亏损90元
【题型3】
3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.4）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kgB．0.6kgC．0.5kgD．0.4kg
【题型4】
4．某品牌乒乓球的直径规格为40mm±0.05mm，下列该品牌乒乓球直径合格的是（ ）
A．40.07mmB．40.05mmC．39.94mmD．39.90mm
【题型5】
5．在﹣|﹣2|，|﹣（﹣3）|，+（﹣2），﹣（﹣6），﹣[﹣（﹣2）]，+[﹣（+5）]中，负数有（ ）（先化简）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点02 有理数的认识及其分类
有理数的相关概念：
有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包含正整数、负整数、0 。
分数包含正分数与负分数。
自然数：0与正整数都是自然数。
非负数包含0 与正数。非负整数包含正整数和0。
有理数按定义分类：

有理数按正负分类：

【题型1】
6．下列说法中不正确的有（ ）
①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数不是整数就是分数；④0的绝对值是0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2】
7．把下列各数填在相应的大括号内：
6，﹣3，2.4，−34，0，29，+2，−312，﹣1.414，﹣17，23，−π24．
正数：{ …}；
非负整数：{ …}；
整数：{ …}；
负分数：{ …}．
考点03 数轴
数轴的定义及三要素：
（1）规定了正方向、原点、单位长度的用来表示数的直线叫做数轴。图示如下：
（2）数轴的三要素：
原点、正方向 、单位长度 是数轴的三要素，在画数轴的时候三要素缺一不可。一般情况下规定向右为正方向。单位长度视情况选择大小，同一个数轴的单位长度一定要统一。
数轴与有理数的关系：
①数轴上的点与有理数之间的关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到 1 个点来表示它。数轴上一个点也只能表示 1个有理数。
②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点右侧，表示负数的点一定在原点的左侧。数轴上右边的数一定比数轴左边的数大。
【题型1】
8．图中所画的数轴，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2】
9．若a=−123，则有理数a在数轴上对应的点的位置是（ ）
A．B．
C．D．
【题型3】
10．将数轴上表示﹣1的点沿数轴向右平移2个单位长度后，该点表示的数是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【题型4】
11．在数轴上表示﹣1的点与表示﹣3的点之间的距离是（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【题型5】
12．M点在数轴上表示﹣4，N点离M的距离是3，那么N点表示的数为（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．﹣1或1
【题型6】
13．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2021厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A．2021B．2022
C．2021或2022D．2020或2019
【题型7】
14．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣18，7，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是 ．
考点04 相反数
相反数的定义：
只有符号不同不同的两个数互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。相反数一定是成对 出现，一个数不能说相反数。规定0的相反数是0。
相反数的性质：
①任何数都有且只有1个相反数。正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；规定0的相反数是0 。
②数轴上互为相反数所对应的两个点分别在原点的两侧，且到原点的距离相等。
③互为相反数的两个数和为0。即若数和数互为相反数，则a+b=0。
特别提示：数和数互为相反数还可表示为＝﹣或=﹣。
数和数互为相反数且均不等于0时还可表示为或。
④若或＝﹣或=﹣或或，则数和数互为相反数。
求一个数的相反数：
求一个具体数或一个字母或数字与字母的积的相反数时，只需要改变它前面的符号，其他不变即可得到它的相反数。
求一个式子的相反数：
把式子用括号括起来，在前面加“﹣”，然后去括号化简即可得到相反数。
加括号与去括号：
加括号：若在“－”后面加括号，则写在括号里面的每一项都需要变符号；若在“＋”后面加括号，则只需要把每一项照写。
去括号：在去掉括号时，若括号前面是“－”，则去掉“－”和括号，把括号内的每一项改变符号，若括号前面是“＋”，则去掉“＋”和括号，把括号内的每一项照写。也可以利用乘法分配率，将括号前的符号与括号内的每一项进行符号化简。
【题型1】
15．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（+7）与+（﹣7）B．−12与+（﹣0.5）
C．−54与45D．+（﹣0.01）与﹣（﹣0.01）
【题型2】
16．如果﹣a与2互为相反数，那么a等于（ ）
A．﹣2B．2C．−12D．12
【题型3】
17．如图，表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A和点DB．点B和点CC．点A和点CD．点B和点D
【题型4】
18．下列说法：①a的相反数是﹣a；②符号相反的数互为相反数；③﹣[﹣（+3.8）]的相反数是﹣3.8：④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型5】
19．已知m，n互为相反数，则3+5m+5n＝ ．
【题型6】
20．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 ．
考点05 绝对值
绝对值的定义：
一般地，数轴上表示数的点到原点的距离就是数的绝对值。记作||。
求一个数的绝对值：
正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
求一个式子的绝对值：
求一个式子的绝对值先判断式子与0的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于它本身，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于它的相反数。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数大于等于0，解||=，则≥0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数小于等于 0。||=﹣，则 ≤0。
绝对值的非负性：
绝对值是一个非负数，具有非负性。即若||≥0。
考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。
即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有a=b=。
绝对值与数轴：
在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就越小，一个数离原点越远，绝对值越大。
绝对值与相反数：
①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值相等。即若与互为相反数，则||＝||。
②绝对值等于某个正数的数一定有两个 ，它们互为相反数。即若||=，则＝＋ 或﹣。
③绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即若||＝||，则有 ＝ 或 ＝﹣ 。
【题型1】
21．2020的绝对值等于（ ）
A．2020B．﹣2020C．12020D．−12020
【题型2】
22．设m为一个有理数，则|m|+m一定是（ ）
A．负数B．正数C．非负数D．非正数
【题型3】
23．在数轴上，绝对值为6，且在原点左边的点表示的有理数是 ．
【题型4】
24．若|a|＝a，则a 0；若|a|＝﹣a，则a 0．
【题型5】
25．若a与5互为相反数，则|a+5|等于（ ）
A．0B．﹣10C．5D．10
【题型6】
26．下列关系一定成立的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|＝b，则a＝b
C．若|a|＝﹣b，则a＝bD．若a＝﹣b，则|a|＝|b|
【题型7】
27．如果x为有理数，式子2020+6|x+3|的最小值等于 ．
【题型8】
28．a、b是有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点06 有理数的大小比较
定义比较法：
正数大于0，0大于负数。
数轴比较法：
数轴上右边的恒大于数轴上左边的数。
其他比较：
同为负数的两个数比较，绝对值大的反而小。
，则；，则；，则；
【题型1】
29．已知下列各有理数：﹣（+2.5），0，﹣|3|，﹣（﹣2），﹣1
（1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点
（2）用“＞”号把这些数连接起来
【题型2】
30．几种气体的沸点（标准大气压）如下表：
其中沸点最低的气体是（ ）
A．氢气B．氮气C．氧气D．氦气
【题型3】
31．若有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小关系是（ ）
A．a＜b＜﹣a＜﹣bB．a＜﹣b＜b＜﹣aC．﹣b＜a＜b＜﹣aD．﹣a＜﹣b＜a＜b
【题型4】
32．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么|a|，b，﹣c的大小关系是 ．（用“＞”连接）
教学目标
熟练掌握有理数全章知识点；
熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
教学重难点
重点
（1）正负数的定义及其意义；
（2）数轴与相反数、绝对值及其综合应用；
（3）有理数的大小比较。
2. 难点
（1）数轴、相反数及其绝对值的综合应用；
气体
氢气
氮气
氧气
氦气
沸点温度（℃）
﹣252.8
﹣195.8
﹣183
﹣268.9