（人教A版）选择性必修一高二数学上册 综合检测必刷密卷（拔尖卷）(2份，原卷版+解析版)

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选择性必修第一册综合检测卷（拔尖卷）单项选择题：1．是直线：与：平行的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出当两直线平行时，或.再利用充分必要条件的定义判断.【详解】因为直线：与：平行，由题得，所以或，经检验均满足题意，所以或.当时，直线：与：平行，所以是直线：与：平行的充分条件；当直线：与：平行时，不一定成立，所以是直线：与：平行的非必要条件.故选：A2．直线与圆的位置关系为（    ）A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定【答案】C【分析】由题知直线过定点，且在圆内，进而得直线与圆的位置关系.【详解】解：将直线变形为，所以直线过定点，圆化为标准方程得，因为所以，点在圆内，所以，直线与圆的位置关系为相交.故选：C3．如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解.【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则有，因为为正方形的中心，得，,，，设平面的法向量为，利用，则，取，解得，有，且平面，则直线平面，设直线的到平面距离为，取直线上一点，与平面上一点，则，利用空间中点面距离公式有：.故选：A4．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件结合抛物线的定义可求出，从而可求出点的坐标，再由双曲线的一条渐近线与直线平行，列方程求解即可.【详解】因为抛物线上一点到其焦点的距离为4，所以，得，所以抛物线方程为，因为在抛物线上，所以，得，所以，双曲线的左顶点为，其渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，解得，故选：D5．椭圆的焦点为，点在上，当最大时，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】作过点与，且与直线相切的圆，设切点为当与切点重合时，满足最大，此时圆心在轴上，设，则圆的半径，又，从而得，从而得＝＝，再计算即可得解.【详解】解：由题意可得，且直线与轴的交点为，作过点与，且与直线相切的圆，设切点为，如图，由图可知，，当且仅当与切点重合等号成立，所以，当与切点重合时，满足最大，此时圆心在轴上，设，则圆的半径，又（弦切角定理），所以，，所以，＝＝＝＝＝.故选：A.6．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线和之间的距离为：，和之间的距离为：，于是有：，解得，故选：B7．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C8．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左､右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（    ）A．B．的离心率为C．若，则的面积为2D．若的面积为，则为钝角三角形【答案】D【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则，且，两式相减得，所以，因为，所以，故双曲线C的渐近线方程因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上, 记 则 因为 , 所以 解得 或 (舍去）, 所以 的面积为，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，将带入C：，得，即由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，因为所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确，故选：D.多项选择题：9．下列说法中正确的是（    ）A．是共线的充要条件B．若，共线，则AB∥CDC．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件【答案】CD【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.故选：CD10．已知双曲线的左焦点为，过点的直线交的左支于两点，直线：为的一条渐近线，则下列说法正确的有（    ）A．B．存在点，使得C．的最小值为1D．点到直线：距离的最小值为2022【答案】ABC【分析】根据题意得，，进而求解离心率判断A；求解判断B选项；当与轴垂直时取最小值判断C；根据直线与的渐近线平行，且与的左支不相交判断D.【详解】解：对于A选项，直线：为的一条渐近线，故，故，，，A正确；对于B选项，当过点的直线斜率不存在时，方程为，或，此时，，当过点的直线斜率存在时，设方程为，故联立方程得，设，因为过点的直线交的左支于两点，所以，解得或，当或时，此时直线与双曲线渐近线平行，与双曲线的交点横坐标为，所以，，所以，因为，所以存在点，使得，故B正确；对于C选项，结合B选项讨论，，所以，因为或，所以，，，，即，因为过点的直线斜率不存在时，，综上，的最小值为1，故C选项正确.对于D选项，直线和的渐近线平行，且与的左支不相交，故上的点到直线的距离没有最小值，D错误．故选：ABC．11．已知椭圆，C的左、右焦点分别为，，点B是短轴的一个端点，为正三角形，且面积为，经过焦点的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q不在x轴上），则（    ）A．椭圆C离心率为B． 的周长为定值8C． 的长度最小值为3D．的面积最大值为【答案】ABC【分析】根据为正三角形面积为求出、，利用求出，再由可判断A；由的周长为可判断B；设，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式 ，根据得出 的范围可判断C；设 ， 的面积为，当最大时面积最大可判断D.【详解】已知椭圆，C的左、右焦点分别为，，点B是短轴的一个端点，对于A，因为为正三角形，且面积为，所以，，即，解得，，所以，，所以椭圆C离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，根据A可得，设，设直线l的方程为，椭圆方程为，联立，整理得， 所以，，因为，所以，即，故C正确；对于D，设 ，根据A可得，，则的面积为，当时面积最大，为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：12．若函数的图象是半径为的圆的一部分，则a的一个值可以是______．【答案】4（答案不唯一）【分析】将函数的解析式化为圆的标准方程形式，得出圆的半径的表达式，根据半径的范围从而可得出答案.【详解】由，得，即，依题意可得，解得．故答案为：4（答案不唯一，只要a的值满足即可）13．若曲线：上一点，是否存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为．则直线的方程为_____________．【答案】【分析】利用代入法，根据三角形垂心的性质，结合平面向量数量积的性质和坐标表示公式进行求解即可.【详解】把代入中，得，即，假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，设，显然直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程是，由，消去化简得： ，即∵的垂心为，∴即 ，或当时，直线的方程是，过点，不合题意，舍去，∴存在这样的直线，其方程是，故答案为：14．如图所示，若正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，则直线AC到平面PEF的距离为______．【答案】【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线到平面的距离.【详解】依题意，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，则，则，设平面PEF的一个法向量为，则，令，得，显然，即，而直线平面，则平面，因此直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，而，则点A到平面PEF的距离，所以直线AC到平面PEF的距离为．故答案为：四、解答题：15．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切．(1)求的方程；(2)点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B．①求四边形面积的最小值；②求证：直线过定点．【答案】(1)；(2)①；②证明见解析．【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程；（2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，写出此圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标．【详解】（1）依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+40的距离d＝r，∴，∴圆C的方程为x2+y2；（2）①解：连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴．∴当PO取最小值为8时，；②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，则线段OP的中点坐标为（4，），∴以OP为直径的圆方程为，即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB为两圆的公共弦，∴由得直线AB的方程为，b∈R，即8(x)+by＝0，则直线AB恒过定点(，0)．16．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．(1)求证：平面BFC⊥平面BDC；(2)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求点C到平面DEF的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立坐标系，用向量法求解即可【详解】（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∵EB∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF，∵BF⊂平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴BF，∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，∵DE∩BE＝E，∴BF⊥平面BCDE，∵BF⊂平面BFC，∴平面BFC⊥平面BDC．（2）以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设DE＝a，则D（1，a，0），E（1，0，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，平面BCDE的法向量（0，0，1），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，∴|cos|，解得a＝2，∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），（﹣3，0，0），设平面EDF的法向量（x，y，z），则，取z＝1，得（），∴点C到平面DEF的距离d．17．已知椭圆的左､右焦点分别为，且，点在曲线C上.(1)求C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于M､N两点，且满足的内切圆的圆心落在直线上，求直线 l 的斜率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）由题可得，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理法结合条件即得.【详解】（1）由题可知知，又，所以，所以；（2）因为的内切圆的圆心落在直线上，所以直线关于直线对称，所以的倾斜角互补，所以，显然直线 l 的斜率存在，设，由，得，由得，设，则，由，整理得，所以，即，若，则，所以直线的方程为，此时，直线过P点，舍去，所以，即，所以直线 l 的斜率为.18．设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)当时，求实数m的值；(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得t＝2，根据F1到直线的距离与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点，三角形面积公式，可求△PMN面积．【详解】（1）因为双曲线过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为，可得：，解得：，所以双曲线的方程为．（2）因为直线，且过点F2（2，0），则，解得：，由得：三角形为等腰三角形，所以等腰三角形底边上的高的大小为，又因为点F1到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，化简得：，即．（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线与双曲线联立得：， 化简得：， 由韦达定理得：，， 又，即，则，， 即，则，又点M关于坐标原点O的对称点为P，则：．则所求的△PMN面积为．19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面ABCD，，，S为CD的中点．(1)求证：；(2)若M是PB的中点，求直线MD与平面ACP所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）先由三角形三线合一证得，再由面面垂直的性质定理证得平面ABCD，由此再利用线面垂直的判定定理即可证得；（2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，依次求得各点的坐标，进而求得平面PAC的一个法向量及，从而可求得直线MD与平面ACP所成角的正弦值．【详解】（1）因为为等边三角形，故，而平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，故平面ABCD，而平面ABCD，故，而，，平面PCD，故平面PCD，而平面PCD，故．（2）在平面PCD中，过C做直线，则平面ABCD，因AC，平面ABCD，故，，由（1）知，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，，，故，所以，又，，设平面PAC的一个法向量为，则，即，令，则，故，设直线MD与平面PAC所成的角为，则，故直线MD与平面ACP所成角的正弦值为．