高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理课后练习题

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【题型一】基底表示向量
【例题】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）
A． B． C．- D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算法则计算求解.
【详解】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以
故选：B.
【变式训练】
【变式1-1】已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为，则，
所以，解得，故在基底下的坐标为.故选：B.
【变式1-2】在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可
【详解】 ， 其中 为中点，有 ，故可知 ， 则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
故选：A
【题型二】空间向量数量积
【例2】已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用向量为基底表示，再根据数量积求解即可.
【详解】解：如图，因为为中点，为中点
所以，因为正四面体的棱长为，
所以
故选：A
【变式2-1】设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A． B． C．a2 D．a2
【答案】A
【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.
【详解】由题意，正四面体ABCD如图所示，
因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，
故(a2cs60°+a2cs60°)a2．故选：A．
【变式2-2】四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则_______.
【答案】
【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.故答案为：
【变式2-3】如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量运算求得.
【详解】依题意，分别是的中点，所以，三角形是等边三角形，且边长为.所以.故选：B
【题型三】空间向量求长度
【例3】如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，，所以，故选：B
【变式3-1】在平行六面体中，，，，则（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】B
【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以
，所以，故选：B.
【变式3-2】如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.故选：D.
【变式3-3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.故选：B
【题型四】数量积最值与范围
【例4】已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，
又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B
【变式4-1】已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，
由勾股定理可得，且有，
由向量的加法法则可得，，
.
，由向量的三角不等式可得，
，所以，.因此，的取值范围是.故选：B.
【变式4-2】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.
【答案】.
【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】依题意是空间单位向量，且，，，
，，
当且仅当时等号成立，所以，所以.
故答案为：.
【变式4-3】正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．故选：D．
课后巩固练习
1.若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【分析】根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
2.在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据空间向量的线性运算表达，再联立求解即可.
【详解】设则.
所以，，所以.
故选：C
3.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，故选：C．
4.已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选：D
5.已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，
所以
所以 故选：D
6.如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算求解．
【详解】连接，因为，所以，因为，所以，
所以．故选：C．
7.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，，
.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
8.已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
【答案】
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.故答案为：.
9.已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由，，根据与的夹角为钝角，由且求解.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为钝角，所以且，由，得，
所以.若与的夹角为，则存在，使，即，
所以，解得，故答案为：
10.已知，若三向量共面，则实数=_____.
【答案】
【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.
【详解】由题意可知，存在实数满足：，
据此可得方程组：，求解方程组可得：.故答案为．
11.如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【详解】根据题意，在中， ，所以
所以==
则时，取得最小值，则的最小值为.故选：B
12.如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，
所以，则，
所以．故选：A．
13.如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，则
故选：B.
14.已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，
又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；所以，
所以的取值范围为，故选：C.
15.如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.
随堂检测
1.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】因为，，，
所以选项A，C，D中的向量共面，不能作为空间的基底；
对于选项B，假设，，共面，则存在，，使，所以无解，所以，，不共面，可以作为空间的一组基底.故选:B.
2.如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，故选：A
3.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选：B
4.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，，则，，，
而，，，
，
所以.故选：D．
5.如图，在正四面体O−ABC中，OA=6，M为棱OA的中点，N为棱BC（靠近C点）的三等分点，设OA=a,OB=b,OC=c．
(1)用a,b,c表示AN； (2)求OM⋅AN； (3)求MN的长．
【解题思路】(1)用向量加法的三角形法表示，最终用基底表示出来.
(2)借助第一问的结论表示出OM⋅AN，代入已知条件的长度和角度可求得.
(3)要求MN的长度，可以先表示出MN=ON−OM，用基底表示，代入正四面体的长度和角度可以求得.
【解答过程】（1）AN=AO+ON=−a+OB+BN=−a+OB+23BC
=−a+OB+23BO+OC=−a+b−23b+23c=−a+13b+23c
（2）∴OM⋅AN=12a⋅−a+13b+23c=−12a2+16a⋅b+13a⋅c
=−12×36+16×6×6×12+13×6×6×12=−18+3+6=−9
（3）MN=ON−OM=OB+23BC−12a=b+23(c−b）−12a=−12a+13b+23c
∴MN=−12a+13b+23c2=14a2+19b2+49c2+2⋅−12⋅13a⋅b+2⋅−12⋅23a⋅c+2⋅13⋅23b⋅c =14×36+19×36+49×36−6−12+8 =19.
6.已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
（1）用、、表示，；
（2）求的长度．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）
；
即，
（2）因为
，，，，，，
所以
所以，即.
【提分秘籍】
基本规律
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
【提分秘籍】
基本规律
1.空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．
2.空间向量数量积的性质：
①a⊥b⇔a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【提分秘籍】
基本规律
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.