高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理精练，文件包含人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题13空间向量基本定理+随堂检测原卷版docx、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题13空间向量基本定理+随堂检测原卷版pdf、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题13空间向量基本定理+随堂检测解析版docx、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题13空间向量基本定理+随堂检测解析版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12191" 【题型1 空间向量基底的判断】 PAGEREF _Tc12191 \h 1
\l "_Tc25270" 【题型2 用空间基底表示向量】 PAGEREF _Tc25270 \h 3
\l "_Tc22441" 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 PAGEREF _Tc22441 \h 4
\l "_Tc25178" 【题型4 正交分解】 PAGEREF _Tc25178 \h 5
\l "_Tc2330" 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 PAGEREF _Tc2330 \h 7
\l "_Tc30227" 【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】 PAGEREF _Tc30227 \h 8
\l "_Tc10856" 【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 PAGEREF _Tc10856 \h 10
\l "_Tc32477" 【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 PAGEREF _Tc32477 \h 12
【知识点1 空间向量基本定理】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
【题型1 空间向量基底的判断】
【例1】若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A．a+b,a−b,aB．a+b,a−b,bC．a+b,a−b,b+c D．a+b,a+b+c,c
【变式1-1】已知a,b,c是空间的一个基底，若p=a+b，q=a+c，则下列与p，q构成一组空间基底的是（ ）
A．r=2b−3c B．r=a−b+2c C．r=a+2b−c D．r=2a+b+c
【变式1-2】若e1,e2,e3是空间的一个基底，且向量OA=e1+e2+e3,OB=e1−2e2+2e3,OC=ke1+3e2+2e3不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A．83B．52C．−14D．94
【题型2 用空间基底表示向量】
【例2】在四面体O−ABC中，PA=2OP，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则OM=（ ）
A．16a+14b+14c B．16a+12b+12c C．13a+12b+12c D．13a+14b+14c
【变式2-1】如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E为棱A1C1的中点.设BA=a，BB1=b，BC=c，则BE=（ ）

A．12a+b+12c B．12a+12b+c C．a+12b+12c D．12a+b+c
【变式2-2】如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与BiD1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则BM=（ ）
A．12a−12b+cB．12a+12b+cC．−12a−12b+cD．−12a+12b+c
【题型3 由空间向量基本定理求参数】
【例3】如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1的中点，且MN=xAB+yAC+zAA1，则实数x，y，z的值分别为（ ）
A．−1,12,12 B．−1,12,−12C．−1,−12,−12D．1,−12,12
【变式3-1】已知BA,BC,BB1为三条不共面的线段，若AC1=xAB+2yBC+3zC1C，那么x+y+z=（ ）
A．1B．76C．56D．116
【变式3-2】已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若OG=xOA+yOB+zOC，则(x,y,z)为（ ）
A．14,14,14B．34,34,34
C．13,13,13D．23,23,23
【知识点2 空间向量的正交分解】
1．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【题型4 正交分解】
【例4】设{i,j,k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是（ ）
A．(10,12,14)B．(12,14,10)C．(14,12,10)D．(4,3,2)
【变式4-1】已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA=AB=1，BC=5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A．AB,12AC,ASB．AB,AC,AS
C．AB,12AC,12ASD．AS,AB,55BC
【变式4-2】已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a+b，a−b，a+c是空间的另一个基底，若向量p在基底a，b，c下的坐标为2,3,4，则p在a+b，a−b，a+c下的坐标为（ ）
A．−12,52,4B．52,12,4
C．12,−52,4D．52,−12,4
【知识点3 用空间向量基本定理解决相关的几何问题】
1．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
2．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
3．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】
【例5】A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，AF=25AM，判断三点C、E、F是否共线．
【变式5-1】如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O=23A1C，BD与AC交于点M.求证：C1,O,M三点共线．
【变式5-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=13(OA+OB+OC).
(1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【题型6 利用空间向量基本定理求夹角】
【例6】如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB=a，AC=b，AD=c.
(1)用AB=a，AC=b，AD=c表示EF，并求EF的长；
(2)求EF与GH的夹角.
【变式6-1】如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AA1．
(1)若AB＝2，求圆柱的侧面积；
(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与A1B所成角的大小．
【变式6-2】已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AD=1且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=π3.
(1)求DB1的长；
(2)求向量DB1与AB夹角的余弦值.
【题型7 利用空间向量基本定理证明垂直问题】
【例7】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
【变式7-1】如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a，CB=b，CC1=c，CA=CB=CC1=1，a,b=a,c=2π3，b,c=π2，N是AB中点．
(1)用a，b，c表示向量A1N；
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由．
【题型8 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】
【例8】如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.
(1)求BC⋅BD的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足EB=2AE，求线段EF的长.
【变式8-1】如图所示，在四棱锥M−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中点，设a=AB，b=AD，c=AM，用a、b、c表示向量BN，并求BN的长．
【变式8-2】如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若AO=a,AB=b,AC=c，解答下列问题：
(1)以a,b,c为基底表示OP；
(2)若a=b=c=1，∠OAB=∠OAC=π2，∠CAB=2π3，求OP的值．
随堂检测
1.若a，b，c构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．a+b,a−c,bB．c,b+c,b−c
C．b+c,a+b+c,aD．a,a+b,a−b
2.如图，在三棱锥O−ABC中，CD=13CB，OE=13OA，若OA=a，OB=b，OC=c，则DE=（ ）
A．13a−23b−13c B．23a−13b−13c C．13a−13b−23c D．23a−13b−23c
3.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM=2MC，PN=ND，若NM=xAB+yAD+zAP，则x+y+z的值为（ ）
A．−23B．23C．1D．56
4.已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3c，a+b,a−b,c是空间的另一个基底，向量p在基底a+b,a−b,c下的坐标为（ ）
A．32,−12,3B．−32,12,3C．12,−32,3D．−12,32,3
5.在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且CFFB=AEEB=13，CA=a，CB=b，DC=c
(1)求FH（用向量a,b,c表示）；
(2)求证：点E，F，G，H四点共面．
6.如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设OA=a，OB=b，OC=c．
(1)试用向量a，b，c表示向量OG；
(2)求cs．
7.如图，在正四面体O−ABC中，OA=6，M为棱OA的中点，N为棱BC（靠近C点）的三等分点，设OA=a,OB=b,OC=c．
(1)用a,b,c表示AN；
(2)求OM⋅AN；
(3)求MN的长．