2026甘肃职教高考数学总复习9．5　柱、锥、球及其简单组合体课件

这是一份2026甘肃职教高考数学总复习9．5　柱、锥、球及其简单组合体课件，共63页。PPT课件主要包含了斜棱柱，直棱柱，正棱柱，S正棱柱侧＝ch，V正棱柱＝S底h，公共顶点，等腰三角形，斜高在底面的射影，侧棱在底面的射影，底面直径等内容，欢迎下载使用。
第9章　立 体 几 何
9．5　柱、锥、球及其简单组合体
1．棱柱(1)棱柱的定义有两个面互相________，其余每相邻两个面的交线都互相________的多面体叫作棱柱．互相平行的两个面，叫作棱柱的________，其余各面叫作棱柱的________.相邻两个侧面的公共边叫作棱柱的________，两个底面间的距离，叫作棱柱的________.
(2)棱柱的分类侧棱与底面斜交的棱柱叫作__________；侧棱与底面垂直的棱柱叫作__________.底面是正多边形的直棱柱叫作__________.
(3)正棱柱的性质①侧棱垂直于底面，各侧棱长都_________，并且等于正棱柱的高，即侧面都是全等的矩形；②两个底面中心的连线是正棱柱的_________.
(4)正棱柱的侧面积、全面积(表面积)和体积公式侧面积公式：________________.全面积公式：____________________.体积公式：________________.其中，C表示正棱柱的底面周长，h表示正棱柱的高，S底表示正棱柱的底面积．
S正棱柱全＝ch＋2S底
【注意】　棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
2．棱锥(1)棱锥的定义有一个面是多边形，其余各面是有一个______________的三角形，这样的多面体叫作棱锥．底面是正多边形，其余各面是_________的等腰三角形的棱锥叫作正棱锥．
(2)正棱锥的性质①各侧棱的长_________；②各侧面都是全等的______________，各等腰三角形底边上的高都叫作正棱锥的_________；③顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的_________；
④正棱锥的高、斜高与________________________组成一个直角三角形；⑤正棱锥的高、侧棱与________________________也组成一个直角三角形．
(3)正棱锥的侧面积、全面积(表面积)和体积公式侧面积公式：____________________.全面积公式：____________________.体积公式：____________________.
其中，C表示正棱锥的底面周长，h′表示正棱锥的斜高，h表示正棱锥的高，S底表示正棱锥的底面的面积．
3．圆柱(1)圆柱的定义以_______的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫作圆柱．
(2)圆柱的性质①上、下底及平行于底面的截面都是_________；②过轴的截面(轴截面)是全等的_________，并且它的宽等于______________，长等于______________；③圆柱的侧面展开图是以____________________________的矩形．
底面周长和母线长为邻边
(3)圆柱的侧面积、全面积(表面积)和体积公式侧面积公式：______________________.全面积公式：______________________.体积公式：______________________.其中，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高．
S圆柱全＝2πr(h＋r)
4．圆锥(1)圆锥的定义以______________的一直角边所在的直线为旋转轴旋转一圈，其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫作圆锥．
(2)圆锥的性质①平行于底面的截面都是________；②截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；③轴截面是____________，其底边上的高等于圆锥的高；
④母线长的平方等于底面半径与高的平方和，即l2＝h2＋r2；⑤圆锥的侧面展开图是以__________为圆心，以__________为半径的扇形．
(3)圆锥的侧面积、全面积(表面积)和体积公式侧面积公式：___________________.全面积公式：___________________.体积公式：__________________.其中，r表示圆锥的底面半径，l表示母线长，h表示圆锥的高．
S圆锥全＝πr(l＋r)
5．球的结构特征(1)球的定义以_________的直径所在的直线为旋转轴旋转一周所形成的曲面叫作_________，围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心，半圆的半径叫作球的半径．
(2)球的性质①球心与截面圆心的连线_____________.②设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r，则三者关系是_____________.经过球心的平面截球面所得的圆叫作________________.此时d＝0，r＝R，截得的圆半径最大．不经过球心的平面截球面所得的圆叫作________________.
(3)球体的表面积和体积公式表面积公式：________________.体积公式：___________________.其中，R表示球的半径
6．三个直角三角形问题(1)正四棱锥：斜高、底边一半、高构成直角三角形；(2)圆锥：高、母线、底面半径构成直角三角形；(3)球：截面中心到球心的距离与球的半径与截面圆的半径构成直角三角形．
【例1】　已知正四棱柱的底面边长为3 cm，高为4 cm，则体积为多少？
【点拨】　准确把握正四棱柱底面为正方形，侧棱与底面垂直这一特征，是解决本题的关键．
【解】　∵S底＝3×3＝9(cm2)，∴V＝S底h＝9×4＝36(cm3).
【变式训练1】　已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm，高为5 cm，求这个正三棱柱的侧面积和体积．
解：正三棱柱的侧面积为S侧＝ch＝3×4×5＝60(cm2).由于边长为4的正三角形面积为 (cm2)，所以正三棱柱的体积为V＝S底h＝ (cm3).
【例2】　(2016年甘肃省分类考试)下列几何体中截面一定是圆的是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱
【点拨】　本题通过几何体的截面考查几类几何体的特征和空间想象能力，其解题突破点在于对“截面一定是圆”这一条件的理解，就是要从任何一个角度去截，其截面都要是圆．
【变式训练2】　圆锥的轴截面是(　　) A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
【例3】　如图9－16所示，正三棱锥V－ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求：(1)棱锥的侧棱长；(2)此三棱锥的体积． 图9－16
【解】　(1)设E为AB的中点，连接VE，CE，则VE⊥AB，CE⊥AB，且∠VEC＝60°，过V点作VO⊥面ABC于点O，则O在CE上．∵三棱锥V－ABC是正三棱锥，∴O为△ABC的中心．∴OC＝在Rt△VEO中，VO＝OE·tan 60°＝
在Rt△VCO中，VC＝即侧棱长为(2)由(1)知VO＝
【变式训练3】　如图9－17所示，正三棱锥V－ABC的底面边长是6，侧面与底面成60°的二面角，求正三棱锥的高． 图9－17
解：过点V作VO⊥面ABC于点O，取BC的中点E，连接AE，VE，则VE⊥BC，AE⊥BC，且AE经过点O.∵三棱锥V－ABC是正三棱锥，∴O为△ABC的中心，且OE⊥BC.∴∠VEO为侧面与底面所成二面角的平面角．∴∠VEO＝60°.
∵AE＝在Rt△VOE中，OV＝tan ∠VEO·OE＝3，即正三棱锥的高为3.
【例4】　(2021年甘肃省分类考试)已知圆柱的高h是底面半径r的2倍，则圆柱体积V为(　　) A．2πr3 B．2πr2 C．πr2 D．πr3
【点拨】　V圆柱＝πr2h＝πr2(2r)＝2πr3.
【变式训练4】　已知圆柱的轴截面是边长为4的正方形，求圆柱的侧面积和体积．
解：∵圆柱的轴截面是边长为4的正方形，∴圆柱的底面半径为2，高为4，∴圆柱的侧面积为S＝2πrh＝2π×2×4＝16π，体积V＝πr2h＝π×22×4＝16π.
【例5】　(2019年甘肃省分类考试)已知球的表面积为36π cm2，则该球的体积为(　　) A．36 cm3 B．108π cm3 C．36π cm3 D．108 cm3
【变式训练5】　已知球的大圆的周长为6π，则这个球的表面积和体积分别为(　　) A．9π，18π B．9π，36π C．18π，36π D．36π，36π
【例6】　如图9－18所示，一个玩具下半部分是半径为3的半球，上半部分是一个圆锥．如果圆锥母线长为5，圆锥的底面与半球面密合，求该玩具的全面积． 图9－18
【点拨】　本题在考查球、圆锥知识的基础上考查学生综合应用数学知识解决问题的能力．解题时要注意分析题意，弄清组合体全面积由哪几部分组成，避免出现多加一个底面的错误．
【解】　设球半径为R，圆锥母线长为l，由已知条件可知R＝3，l＝5，则S半球＝2πR2＝18π，S圆锥侧＝πRl＝15π，15π＋18π＝33π.∴该玩具的全面积为33π.
【变式训练6】　有一个六角螺母毛坯，它的底面正六边形的边长是8 mm，高是10 mm，内孔直径是6 mm，求这个螺母毛坯的体积．
解：V六棱柱＝S六棱柱底h＝6× (mm3)，V圆柱＝S圆底h＝π×32×10＝90π(mm3)，所以V六角螺母＝V六棱柱－V圆柱＝ (mm3).
一、单项选择题1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．圆柱的所有母线平行且相等 C．棱锥的底面可以是任意多边形 D．圆锥的轴截面可以不是等腰三角形
2．已知圆锥的母线长是12，母线与轴的夹角是30°，则该圆锥的侧面积为(　　) A．72π B．3π C．3 π D．9π
3．已知球的截面的面积为16π，截面到球心的距离是3，则这个球的体积是(　　) A．100π B． C．D．125π
4．棱长都是1的三棱锥的表面积为(　　) A． B．2 C．3 D．4
5．把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是(　　) A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体
6．半径为2 cm，高为3 cm的圆柱的全面积等于半径为4 cm的圆锥的侧面积，则圆锥的体积等于(　　) A．4π cm3 B．64π cm3 C．8π cm3 D．16π cm3
7．已知矩形的长为6π、宽为2π，将该矩形卷成圆柱的侧面，那么圆柱的底面积为(　　) A．9π B．π C．9π或π D．3π或π
8．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，他们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝(　　) A．1∶3 B．1∶1 C．2∶1 D．3∶1
二、填空题9．已知正三棱锥的底面边长为6 cm，高为5 cm，则体积为________．
10．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．
11．已知圆锥的高为3，母线与底面所成的角是60°，则圆锥体积为________．
12．正四棱柱底面边长为4，侧面积为80，它的体积是________．
13．已知圆柱的轴截面的面积为10 cm2，体积是5π cm3，则圆柱的全面积为________cm2.
14．球的表面积变为原来的4倍，则其体积变为原来的________倍．
三、解答题15．已知正四棱锥的底面边长为12 cm，侧棱长为10 cm，求此正四棱锥的斜高和高．
解：在正四棱锥S－ABCD中，作SO垂直平面ABCD于点O，SE⊥AB于点E，连接OE(图略).在等腰三角形SAB中，SA＝SB＝10(cm)，AB＝12(cm).因为SE⊥AB，根据等腰三角形的性质可得斜高SE＝8(cm).在Rt△SOE中，SE＝8(cm)，OE＝6(cm)，根据勾股定理可得正四棱锥的高SO＝2 (cm).
16．已知一个直径为32 cm的圆柱形水桶装有水，将一个球全部没入水中，水桶的水面上升9 cm，求这个球的半径．
解：由题意知圆柱形水桶的半径r＝16 cm，水面上升部分的体积V＝πr2h＝π×162×9＝2 304π(cm3)，这部分体积等于球的体积，即2 304π＝ πR3，解得R＝12(cm).
17．如图所示，一个金属屋分为上、下两部分：下部分是一个柱体，高为2 m，底面为正方形，边长为5 m；上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底面相同，高为3 m．求：金属屋的体积和屋顶的侧面积各为多少？ 第17题图
解：金属屋的体积为V＝V正四棱柱＋V正四棱锥＝52×2＋ ×52×3＝50＋25＝75(m3).金属屋顶的侧面积为S＝4× (m2).