2026甘肃职教高考数学总复习9．4　直线、平面间的垂直关系课件

这是一份2026甘肃职教高考数学总复习9．4　直线、平面间的垂直关系课件，共42页。PPT课件主要包含了a⊥b，任意一条，l⊥α，直二面角，平行或l在α内等内容，欢迎下载使用。
第9章　立 体 几 何
9．4　直线、平面间的垂直关系
1．线线垂直如果空间内两条直线所成的角是__________，那么称这两条直线互相垂直．直线a和b互相垂直，记作__________.
2．线面垂直(1)定义：如果直线l和平面α内的__________直线都垂直，那么就称直线l与平面α垂直，记作__________.直线l叫作平面α的垂线，垂线l与平面α的交点叫作__________.
(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相________.
3．面面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是_________，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.(2)判定定理：一个平面经过另一个平面的一条________，则这两个平面垂直．
【例1】　(2020年甘肃省分类考试)已知平面α外一条直线l与平面内两条直线a，b都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．异面 D．不能确定
【点拨】　当平面内的两条直线a与b相交时，根据直线与平面垂直的判定方法可知，直线l与平面α垂直；当平面内的两条直线a与b平行时，直线l与平面α可能垂直，也可能相交但不垂直，也有可能平行．故答案D正确．
【变式训练1】　平面α外一条直线l与平面α内的两条相交直线m，n都垂直，则l与平面α的位置关系是(　　) A．l⊥α B．相交但不垂直 C．l∥α D．l在平面α内
【例2】　如图9－13所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，求证：BD⊥AE. 图9－13
【点拨】　本题考查线线垂直的判定方法．要说明两条异面直线垂直，通常只要说明其中一条直线与另一直线所在的某个平面垂直即可．
【证明】　连接AC，BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又∵AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE在平面ACE内，∴BD⊥AE.
【变式训练2】　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断AB和DD1是否垂直．
解：∵AB和DD1是异面线，BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成角的定义可知AB和DD1成直角，∴AB⊥DD1.
【例3】　如图9－14所示，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点，求证：平面EBD⊥平面SAC. 图9－14
【点拨】　利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直．因此，线面垂直是线线垂直与面面垂直的纽带，通过线面垂直可以实现线线垂直与面面垂直的互相转化．
【证明】　∵SA⊥底面ABCD，BD在底面ABCD内，∴SA⊥BD.∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴BD⊥平面SAC.又∵BD⊆平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC.
【变式训练3】　已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1.
证明：在正方体A1B1C1D1－ABCD中，∵B1B⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面B1BDD1.又∵AC⊆平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面B1BDD1.
【例4】　如图9－15所示，Rt△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，AB＝5 cm，AC＝2 cm，PB⊥α，PB＝12 cm，求：(1)线段PA的长；(2)线段PC的长． 图9－15
【点拨】　本题考查直线与平面垂直及空间想象力．首先利用直线与平面垂直的性质，得到线线垂直，然后在直角三角形中完成相关计算，这是经常使用的方法．
【解】　(1)∵PB⊥α，AB⊆α，∴PB⊥AB，∠PBA＝90°.∴在Rt△PAB中，PA＝ ＝13(cm).(2)∵PB⊥α，BC⊆α，∴PB⊥BC，∠PBC＝90°.∵在Rt△PBC中，PC＝ ；在Rt△ABC中，BC2＝AB2＋AC2.∴PC＝ ＝15(cm).
【变式训练4】　已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，并且垂直于它们的交线AB，另外AC＝3，BD＝12，求CD的长．
解：如图所示，连接BC，∵AC⊥AB，∴△ABC是直角三角形．∵AB＝4，AC＝3，∴BC＝ ＝5.又∵α⊥β，α∩β＝l，BD⊥l，∴BD⊥α，∵BC⊆α∴BD⊥BC，∴△DBC是直角三角形，∴CD＝ ＝13.
一、单项选择题1．(2023年甘肃省分类考试)下列说法中，错误的是(　　) A．不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过平面外一点可以画两条平面的垂线 D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
2．垂直于同一条直线的两条直线一定(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
3．若空间内两条直线互相垂直，则它们(　　) A．一定相交 B．一定不平行 C．是共面直线 D．是异面直线
4．若直线l和平面α垂直，则下列说法正确的是(　　) A．直线l只和平面α内的某一条直线垂直 B．直线l和平面α内的所有直线都垂直 C．直线l和平面α内的部分直线垂直 D．在平面α内存在与直线l不垂直的直线
5．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交 C．平行 D．不确定
6．若直线a⊥b，且a⊥平面α，则(　　) A．b∥平面α B．b在平面α内 C．b⊥平面α D．b∥平面α或b在平面α内
7．下列说法中，正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两条直线一定是共面直线 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．如果两个平面互相垂直，那么一个平面的任意一条直线都垂直于另一个平面 D．二面角的平面角所在的平面与二面角的面垂直
8．直线l与平面α内的两条直线垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交 C．平行 D．不确定
二、填空题9．若线段AB＝20，且AB与平面α所成的角为45°，则线段AB在平面α内的射影A′B′长为________．
10．过空间中的一点可以作________条直线与已知直线垂直．
11．如果直线l∥m，并且直线l⊥平面α，那么直线m与平面α的位置关系是________．
12．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，与平面AB′垂直的平面有________个，与平面AB′垂直的棱有________条． 第12题图
13．已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC中有________个直角三角形．
14．直线l与平面α同时垂直于直线m，则l与α的位置关系是________________．
三、解答题15．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝3 ，求二面角P－BC－A的大小． 第15题图
解：设BC的中点为D，连接AD，PD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AD⊥BC，且AD＝3.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD，PA是平面PAD内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD，则∠PDA是二面角P－BC－A的平面角．
在Rt△PAD中，tan ∠PDA＝ ，∴∠PDA＝60°，即二面角P－BC－A的大小为60°.
16．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝ ，求证：PA⊥平面ABCD.
证明：∵ABCD的底面是边长为1的正方形，∴AD＝1，又∵PA＝1，PD＝ ，∴PA2＋AD2＝PD2，∴△PAD是直角三角形，∴PA⊥AD.又∵PA⊥CD，且AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.
17．如图所示，在平面α内，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，PB＝12，PB⊥平面α，求PA，PC的长． 第17题图
解：在Rt△ABC中，BC＝ ＝5.∵PB⊥平面α，AB⊆平面α，BC⊆平面α，∴PB⊥AB，PB⊥BC.在Rt△PAB中，PA＝ ，在Rt△PBC中，PC＝ ＝13.