2026甘肃职教高考数学总复习9. 3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角课件

这是一份2026甘肃职教高考数学总复习9. 3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角课件，共41页。PPT课件主要包含了最小正角，0°90°，两部分，相交且垂直等内容，欢迎下载使用。
第9章　立 体 几 何
9. 3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
1．线线角(1)相交直线的夹角：这两条直线相交所成的__________.两直线平行时，两直线的夹角是______.(2)异面直线所成的角：经过空间任意一点分别作与两条异面直线__________的直线，这两条相交直线所成的夹角．两条异面直线所成的角的取值范围是________.
2．线面角(1)线面角：斜线l与它在平面α内的__________l′的夹角，叫作直线l与平面α所成的角．(2)规定：当直线与平面垂直时，直线l与平面α所成的角是__________；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是__________.显然，直线与平面所成角的取值范围是______________.
3．面面角(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成__________，每一部分叫作一个半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫作二面角的_______，这两个半平面叫作二面角的__________.
(3)二面角的平面角：过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的____________.二面角的取值范围是____________.
【例1】　如图9－9所示，有正方体ABCD－A′B′C′D′.(1)直线A′B与C′D′是________直线，直线A′B与C′D′所成的角＝________；(2)直线BC与C′D′是________直线，直线BC与C′D′所成的角＝________；(3)直线A′B与CD′是________直线，直线A′B与CD′所成的角＝________． 图9－9
【点拨】　(1)直线A′B与C′D′是异面直线．由于A′B′∥C′D′，则∠B′A′B是直线A′B与C′D′所成的角，大小为45°.(2)直线BC与C′D′是异面直线．由于CD∥C′D′，故∠BCD是直线BC与C′D′所成的角，大小为90°.(3)两直线平行时，两直线的夹角是0°.利用图形特点，将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角是解题的关键．
【变式训练1】　如图9－10所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，异面直线CD′和BC′所成的角的度数是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 图9－10
【提示】 连接AD′，AC(图略)，则AD′∥BC′，则∠AD′C为异面直线CD′和BC′所成的角．由于△ACD′为等边三角形，故∠AD′C＝60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
【例2】　如图9－11所示，已知l是平面α的一条斜线，且l∩α＝B，PB＝10，点P到平面α的距离为5，求直线l与平面α所成的角． 图9－11
【点拨】　本题考查线面角的概念及应用．从图中找出所求的线面角是解决问题的突破点．
【解】　如图9－11所示，过P作PD⊥平面α，连接BD，则BD为PB在平面α内的射影，因此，∠PBD为直线l与平面α所成的角．∵在Rt△PBD中，PB＝10，PD＝5，∴∠PBD＝30°，即直线l与平面α所成的角为30°.
【变式训练2】　若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成的角为(　　) A．60° B．30° C．120°或60° D．150°或30°
【例3】　如图9－12所示，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角C′－AD－C.(1)指出这个二面角的面、棱、平面角；(2)若二面角C′－AD－C是直二面角，求C′C的长；(3)求AC′与平面C′CD所成的角． 图9－12
【点拨】　本题考查二面角的概念及应用．对折问题中要注意对折前后各线段、对应角及垂直关系的变化，AD与BD，CD的垂直关系对折前后不变是解决本题的关键．
【解】　(1)∵AD⊥BC，∴AD⊥DC，AD⊥DC′，∴二面角C′－AD－C的面为平面ADC和平面ADC′，棱为AD，二面角的平面角为∠C′DC.(2)∵∠C′DC＝90°，AC＝a，∴DC＝DC′＝(3)∵AD⊥DC′，AD⊥DC，∴AD⊥平面DC′C.
∴∠AC′D为AC′与平面DC′C所成的角．∵在Rt△ADC′中，∠DAC′＝∠DAC＝30°，∴∠AC′D＝60°.
【变式训练3】　已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求二面角D1－AD－B的大小．
解：因为AD为二面角的棱，AA1与AB是分别在二面角的两个面内并且与棱AD垂直的射线，所以∠A1AB为二面角D1－AD－B的平面角．因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB是直角，所以二面角D1－AD－B为90°.
一、单项选择题1．自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角之间的关系是(　　) A．相等 B．互为补角 C．互为余角 D．和等于360°
2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C与AD1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 第2题图
3．在30°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是(　　) A．5 B．20 C．10 D．
4．若直线a，b与直线l相交成等角，则a，b的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．可能相交，可能平行，也可能异面
5．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，则这两个二面角(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90°
7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线D1B与底面ABCD所成的角的正切值为(　　) A． B． C． D．
8．已知在矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PCD与平面ACD所成的角的度数为(　　) A．90° B．45° C．60° D．无法确定
二、填空题9．如果直线a⊥b，a∥c，那么b与c所成的角的度数为________．
10．已知线段AB＝6，直线AB与平面α成60°的角，则线段AB在平面α内的射影的长是________．
11．直线与平面所成角的取值范围是____________．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与BC1所成的角等于________；AC与B1D1所成的角等于________． 第12题图
13．二面角的棱与这个二面角所在的平面的关系是_______________．
14．如图所示，在二面角α－l－β内有一点A，过A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，如果∠BAC＝25°，那么二面角α－l－β的度数是________． 第14题图
三、解答题15．在如图所示的长方体中，∠BAB1＝30°，求：(1)异面直线AB1与CC1所成的角的度数；(2)直线AB1与平面A1B1C1D1所成的角的度数；(3)二面角A－B1C1－D1的度数． 第15题图
解：(1)∵BB1∥CC1，∴∠AB1B是AB1与CC1所成的角．又∵∠AB1B＝90°－∠BAB1＝60°，∴AB1与CC1所成角的度数为60°.(2)∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴A1B1是AB1在平面A1B1C1D1内的射影，则∠AB1A1是直线AB1与平面A1B1C1D1所成的角，且∠AB1A1＝90°－∠AB1B＝30°，
即直线AB1与平面A1B1C1D1所成的角的度数是30°.(3)∵AB1⊥B1C1，A1B1⊥B1C1，∴∠AB1A1是二面角A－B1C1－D1的平面角．∵∠AB1A1＝30°，∴二面角A－B1C1－D1的度数是30°.
16．如图所示，现有一个边长为2的正三角形铁皮ABC，以它的高AD为折痕，试解答：(1)若将其折成一个60°的二面角，此时B，C两点间的距离为多少？(2)若BC＝ ，求二面角B－AD－C的大小． 第16题图
解：(1)∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.∴∠BDC就是所求二面角的平面角，∴∠BDC＝60°.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴D是BC的中点，∴BD＝CD＝1，∴△BCD为正三角形，∴BC＝1，∴B，C两点间的距离为1.
(2)由(1)得BD＝CD＝1，∵BC＝ ，∴△BDC是直角三角形．∴∠BDC＝90°，即二面角B－AD－C的大小为90°.
17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的棱长分别为AB＝1，AD＝ ，AA1＝3，求对角线AC1与底面ABCD的夹角． 第17题图
解：∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1AC就是对角线AC1与底面ABCD所成的角．∵AC＝ ，CC1＝AA1＝3，∴tan ∠C1AC＝ ，∴∠C1AC＝60°，即对角线AC1与底面ABCD所成的角为60°.