2026甘薯职教高考数学总复习 6．3　等比数列课件

这是一份2026甘薯职教高考数学总复习 6．3　等比数列课件，共45页。PPT课件主要包含了第6章数列，第3页共46页，a1qn－1，－85等内容，欢迎下载使用。
6．3　等 比 数 列
1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的__ __，公比通常用字母q(q≠0)表示．定义的表达式为____________________.
2．等比数列的通项公式an＝__________，其中a1为首项，q为公比．
3．等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝_____⇒G＝_________.若三个数成等比数列且它们的积是定值时，通常可设这三个数为 ，a，aq.
4．等比数列的性质(1)在等比数列中， ＝__ _或am＝an·__ __.(2)在等比数列中，若k＋l＝m＋n，则ak·al＝__________.
5．等比数列的前n项和公式当q＝1时，Sn＝________；当q≠1时，Sn＝_____________或Sn＝______________.
【例1】在数列{an}中，若a1＝16，an＋1＝ an，则该数列的通项an＝________．
【变式训练1】已知数列{an}满足an＋1＝3an，且a1＝1.证明数列{an}是等比数列，并写出它的通项公式．
证明：因为 ＝3，3是与n无关的常数，所以数列{an}是等比数列，an＝3n－1.
【例2】在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，求an.
【点拨】方法一是运用等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程组，从而解出基本量a1和q，可以进一步求出通项公式an或前n项和Sn.此方法俗称为“通法”或“基本量法”．方法二是利用等比数列的性质求解．
【解】(方法一)设{an}的公比为q，依题意得 解得 故an＝3n－1.(方法二)由 ＝qm－n，求得q3＝27，故q＝3，an＝a2qn－2＝3n－1.
【变式训练2】在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝16，求an.
解： 解得 an＝(－2)n－1.
【例3】已知等比数列{an}中，a1＝ ，an＝ ，Sn＝ ，求公比q和项数n.
【点拨】等比数列的通项公式和前n项和公式中，共有五个量a1，q，n，an，Sn.已知其中的三个量，可以求出其他的两个量，即“知三求二”．
由题意可得 ＝ ，即2－64q＝126(1－q)，解得q＝2.因此数列的通项公式为an＝ ·2n－1，由 ·2n－1＝ ，解得n＝6.
【变式训练3】在等比数列{an}中，已知a1＝2，S3＝26，求q与a3.
解：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝26，∴q＝3或q＝－4，则a3＝18或a3＝32.
【例4】已知成等差数列的三个正数之和等于15，且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列，求这三个数．
【点拨】　若成等差数列的三个数的和是定值时，可以设这三个数分别是a－d，a，a＋d.
【解】设成等差数列的这三个数分别是a－d，a，a＋d，依题意得a－d＋a＋a＋d＝15，∵它们成等比数列，∴(7－d)(18＋d)＝100，化简得d2＋11d－26＝0，解得d＝2或d＝－13，∵成等差数列的三个数都为正数，∴d＝2，故这三个数分别是3，5，7.
【变式训练4】已知三个数成等比数列，它们的和是26，积为216，求这三个数．
解：设这三个数分别为 ，a，aq，则 解得a＝6，q＝3或 .
当q＝3时，这三个数分别为2，6，18；当q＝ 时，这三个数分别为18，6，2.故这三个数分别为2，6，18或18，6，2.
【例5】在各项均为正数的等比数列{an}中，如果q＝ ，且lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＝3，求数列{an}的通项公式．
【点拨】在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n，则ak·al＝am·an.
在等比数列{an}中，lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＝lg2(a1a2a3)＝3＝lg28，故a1a2a3＝ ＝8，得a2＝2，又∵q＝ ，∴a1＝4，故an＝a1qn－1＝4× ＝ .
【变式训练5】在各项均为正数的等比数列{an}中，若a1a6＝10，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a6＝________．
一、单项选择题1．在等比数列中，若a1＝2，q＝3，则a3等于(　　) A．18 B．12 C．8 D．6
2．设等比数列的前3项依次为 ， ， ，则它的第4项为(　　) A．1 B． C． D．
3．在等比数列{an}中，a2＝4，a9＝25，则a4·a7等于(　　) A．25 B．50 C．75 D．100
4．已知a，b，c，d成等比数列，公比为2，则 的值为(　　) A． B． C． D．1
5．在等比数列{an}中，若a4＋a6＝10，则lg (a1a7＋2a3a7＋a2a10)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4
6．若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则项数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
8．在等比数列{an}中，若a5＝2，a10＝10，则a15等于(　　) A．15 B．30 C．50 D．60
二、填空题9．等比数列1，－2，4，－8，…的前8项的和为________．
10．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1a3＋2a2a5＋a4a6＝36，则a2＋a5＝________．
11．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，a3＝4，则a1＝_______．
12．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S5＝________．
13．在等比数列{an}中，若a2＝4，a8＝16，则a5＝________．
14．若 ，x， 成等比数列，则x＝________．
三、解答题15．写出等比数列1，－3，9，－27，…的前n项和公式，并求出数列的前8项和．
解：∵a1＝1，q＝ ＝－3，∴等比数列的前n项和公式为Sn＝ ＝ ，
故S8＝ ＝－1 640.
16．若{an}是等比数列，q＝2，a5＝32，求a1及S6.
解：由an＝a1·qn－1，代入条件可得a1＝2，S6＝ ＝126.
17．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a4＝9，a10＝3，求a7.
解：由题意知a4a10＝ ＝27，∴a7＝±3 ，又∵数列的各项均为正数，∴a7＝3 .
18．在等比数列{an}中，若a1＝3，an＝96，Sn＝189，求q，n.
解：Sn＝ ＝ ＝189，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝3×2n－1＝96，解得n＝6.
19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S2成等差数列，求{an}的公比．
解：由题意知2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，化简得q＝－ .
20．三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2后与中间的数成等差数列，求这三个数．
解：设这三个数为 ，a，aq，由题意知 ·a·aq＝a3＝512，得a＝8，故这三个数为 ，8，8q，
∴成等差数列的三个数为 －2，8，8q－2.由等差数列的性质得 ＋(8q－2)＝16，解得q＝2或q＝ .当q＝2时，这三个数为4，8，16；当q＝ 时，这三个数为16，8，4.