2026甘薯职教高考数学总复习 6．2　等差数列课件

这是一份2026甘薯职教高考数学总复习 6．2　等差数列课件，共44页。PPT课件主要包含了第6章数列，第2页共45页，a1＋n－1d，am＋an，m－nd，n－1，－10等内容，欢迎下载使用。
6．2　等 差 数 列
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的__ __，一般用字母d表示．定义的表达式为 .
an＋1－an＝d(n∈N*)
2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ .将其变形为 ，可以发现，等差数列的通项公式是关于n的一次函数．
an＝dn＋(a1－d)
3．等差中项若a，A，b成等差数列，则A叫作a，b的等差中项，且A＝________.若三个数成等差数列且它们的和是定值时，通常可设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
4．等差数列的性质(1)在等差数列{an}中，am－an＝ 或am＝an＋ .(2)在等差数列{an}中，若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝ .
5．等差数列的前n项和公式(1)等差数列{an}的首项是a1，第n项是an，则其前n项和公式为Sn＝___________. (2)等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝_________________.
【例1】(2021年甘肃省分类考试)在等差数列{an}中，若a1＝－1，a20＝113，则公差d＝________．
【点拨】　运用等差数列的通项公式，直接求解即可．
【变式训练1】在等差数列{an}中，若a4＝18，a9＝－12，求数列{an}的首项及通项公式．
解：∵等差数列{an}中，a4＝18，a9＝－12，an＝am＋(n－m)d，∴－12＝18＋(9－4)×d，解得d＝－6，a1＝36，an＝－6n＋42.
【例2】已知数列{an}是递增的等差数列，且a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根，求数列{an}的通项公式．
【点拨】先通过解一元二次方程求出a2，a4，再用等差数列相关知识求解．
【解】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3，由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝ .由a2＝a1＋d得a1＝ ，∴数列{an}的通项公式为an＝ n＋1.
【变式训练2】在递增的等差数列{an}中，已知a2，a5是一元二次方程x2－19x＋70＝0的两个根，则an＝________．
【例3】(2020年甘肃省分类考试)在等差数列{an}中，若a3＝－4，a7＝8，则该数列的前10项和S10＝________．
【点拨】　运用等差数列的通项公式，得到关于a1和d的方程组，从而解出基本量a1和公差d，可以进一步求出通项公式an或前n项和Sn.此方法俗称为“通法”或“基本量法”，是解决等差数列有关问题最常用的基本方法．设数列{an}的首项
【变式训练3】在等差数列{an}中，a1＝2，a7＝20，求S13.
解：∵等差数列{an}中，a1＝2，a7＝20，an＝a1＋(n－1)d，∴20＝2＋(7－1)×d，解得d＝3.又∵Sn＝na1＋ ，∴S13＝13×2＋ ＝260.
【例4】在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a3＋a9等于(　　) A．12 B．16 C．20 D．24
【点拨】(方法一)∵a4＋a8＝(a1＋3d)＋(a1＋7d)＝2a1＋10d，∴a3＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋8d)＝2a1＋10d＝16，故选B.(方法二)∵3＋9＝4＋8，∴a3＋a9＝a4＋a8＝16，故选B.
【变式训练4】在等差数列{an}中，已知a2＋a8＝24，则a4＋a6等于(　　) A．12 B．16 C．20 D．24
【例5】(2022年甘肃省分类考试)在数列{an}中，a1＝16，a5＝36，其通项公式是项数n的一次函数，求数列{an}的通项公式，并判断数列是不是等差数列．
【点拨】先通过待定系数法求得k，b，再用等差数列的定义说明即可．
【解】　设数列{an}的通项公式为an＝kn＋b，则 解得 故an＝5n＋11.∵an－an－1＝5，5是与项数n无关的常数，∴数列{an}是等差数列．
【变式训练5】已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2，求证：数列{an}是等差数列．
证明：∵an－an－1＝－3n＋2－[－3(n－1)＋2]＝－3，－3是与n无关的常数，∴数列{an}是等差数列．
【例6】已知三个数成等差数列，它们的和为15，平方和为93，求这三个数．
【点拨】当成等差数列的三个数的和是定值时，可以设这三个数分别是a－d，a，a＋d.
【解】设这三个数为a－d，a，a＋d.由题意可知 解得 或
若 则这三个数为2，5，8；若 则这三个数为8，5，2.因此，这三个数为2，5，8或者8，5，2.
【变式训练6】　已知三个数成等差数列，他们的和为3，平方和为101.求这三个数．
解：由题意，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则 解得 或故这三个数为－6，1，8或8，1，－6.
一、单项选择题1．在等差数列{an}中，若a2＝10，a10＝34，则公差d等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5
2．在等差数列{an}中，若a2＋a4＝10，则S5＝(　　) A．25 B．36 C．50 D．无法计算
3．在等差数列{an}中，若a1＝1，a3＝－3，Sn＝－35，则项数n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8
4．若a，b，c成等差数列，且a＋c＝－6，则a＋b＋c＝(　　) A．－12 B．－9 C．0 D．3
5．在等差数列{an}中，a5和a8是方程x2－8x＋7＝0的两根，则其前10项的和为(　　) A．22或68 B．20或60 C．18 D．16
6．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2，a1＝3，则这个数列的一个通项公式为(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝2n＋2 C．an＝3n＋2 D．an＝3n＋1
7．在－7和13之间插入三个数，使这五个数成等差数列，则插入的第二个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3
8．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a4＋a5＋a6＝10，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．15 B．20 C．25 D．30
二、填空题9．等差数列－8，－5，－2，1，…的前20项的和等于________．
10．在等差数列{an}中，若a3＝2，S7＝56，则a1＝________．
11．在等差数列{an}中，a3＝5，a5＝9，则S10＝________．
12．在等差数列{an}中，Sn＝n2＋2n，则a3＋a4＋a5＝______．
13．在等差数列{an}中，a1＝3，d＝2，an＝21，则n＝______．
14．在等差数列{an}中，an＝5n＋1，则S6＝________．
15．在等差数列{an}中，若 ＝ ，则 ＝________．
三、解答题16．已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝888，求n和d.
解：已知等差数列的Sn＝ ，将条件代入得n＝24，又∵an＝a1＋(n－1)·d，∴d＝ .
17．在等差数列24，20，16，…中，第多少项开始为负数？
解：a1＝24，d＝－4，故an＝24＋(－4)(n－1)＝－4n＋28.由题意得－4n＋287，故从第8项起为负数．
18．已知在等差数列{an}中，a1＝10，S4＝S9，问数列前多少项的和最大？求出最大值．
解：∵Sn＝na1＋ ，又∵S4＝S9，∴a1＝－6d，即d＝－ ，∴数列{an}是递减数列．
由an7，即数列从第8项起，各项为负数．∴数列前7项和最大，Smax＝35.