2026甘薯职教高考数学总复习 6．1　数列的概念和表示课件

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考试内容数列的概念；等差数列和等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式；数列的实际应用．
考试要求1．了解数列的有关概念．2．了解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式．3．了解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式．4．初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型来解决简单实际问题．
1．数列的定义按照 排成的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫作 ，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫作对应的项的项数．
2．数列的分类按照项数是有限还是无限，数列分为 数列和 数列．按照项与项数的变化情况，数列可分为 数列、 数列、 数列和 数列．
3．通项公式如果数列{an}的第n项an可以用一个关于项数n的式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的 ，即an＝f(n).(1)若已知一个数列的通项公式，可令n＝1，n＝2，n＝3，…，就可以求出这个数列的任意一项．(2)并非每一个数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不一定是唯一的．
4．数列的前n项和数列的前n项和通常用Sn来表示，Sn＝ .
a1＋a2＋···＋an
5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
6．递推公式如果数列{an}的第n项与它前一项或若干项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式．
7．两个特殊数列的通项公式(1)已知数列1，－1，1，－1，1，－1，…，则an＝(－1)n＋1或an＝cs (n－1)π；(2)已知数列－1，1，－1，1，－1，1，…，则an＝(－1)n或an＝cs nπ.
【例1】(2020年甘肃省分类考试)已知数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·cs ，则该数列的第10项为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．
【变式训练1】已知数列的通项公式为an＝ ·(10n－1)，写出数列的前3项．
解：a1＝3，a2＝33，a3＝333.
【例2】写出下列数列的一个通项公式：(1)3，5，9，17，33，…(2) ，2， ，8， ，…(3)－ ， ，－2 ， ，…(4)1，0，1，0，…
【点拨】　归纳通项公式应从以下四个方面着手：①观察项与项之间的关系；②符号与绝对值分别考虑，对于正负相间的数列，其通项公式的符号系数为(－1)n或(－1)n＋1；③分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；④规律不明显，适当变形．
【解】(1)∵a1＝3＝21＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…∴an＝2n＋1.(2)将数列中各项统一写成分母为2的分数，得 ， ， ， ， ，…观察知，各项的分子是对应项数的平方，故数列的通项公式为an＝ .
(3)将数列各项统一形式，得－ ， ，－ ， ，…，其奇数项为负数，偶数项为正数，其符号系数为(－1)n，故数列的通项公式为an＝(－1)n· .(4)从奇数项、偶数项角度入手，可以得到分段形式的通项公式，也可看作数列1，1，1，1，…和1，－1，1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，则an＝ 或an＝ (n∈N*).
【变式训练2】已知数列前4项为7，77，777，7 777，写出通项公式：______________．
【例3】已知数列 ， ， ， ，···，则5 是数列的(　　) A．第18项 B．第19项 C．第17项 D．第20项
【变式训练3】已知数列 ， ，3，2 ，…，则9是这个数列的第________项．
【例4】　数列{an}的通项公式为an＝n(n＋3)，问：54是不是这个数列的项？若是，是第几项？
【点拨】　判断某数是否为数列中的项，只需要把这个数代入其通项公式求n，若求出的n是正整数，则这个数是数列中的项，否则不是．
【解】　将54代入数列的通项公式，得54＝n(n＋3)，解得n＝－9或n＝6，∵n∈N*，∴n＝6，∴54是数列{an}的第6项．
【变式训练4】判断3是不是数列{lg3(n2－6n)}中的项，如果是，请指出是第几项．
解：将3代入数列的通项公式，得3＝lg3(n2－6n)，化简得n2－6n－27＝0，解得n＝－3或n＝9.∵n∈N*，∴n＝9，∴3是数列的第9项．
【例5】已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n; (2)Sn＝3n＋2.
【点拨】利用an与Sn之间的关系公式时，一定要验证当n＝1时，求得的首项是否满足通项公式．
【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
由于a1也适合此等式，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2)－(3n－1＋2)＝2·3n－1.故an＝
【变式训练5】已知数列{an}，a1＝3，当n≥2时，a1＋a2＋…＋an＝n2－1，求a5.
解：由题意得a1＋a2＋a3＋a4＝42－1＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝52－1＝24，所以a5＝24－15＝9.
一、单项选择题1．下列说法正确的是(　　) A．1，2，3，4和4，3，2，1表示同一个数列 B．1，2，3，4和1，2，3，4…表示同一个数列 C．数列中的项允许重复出现，而集合中的元素不允许重复出现 D．1，1，2，3…和1，2，3…表示同一个数列
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋1，则a5－a1等于(　　) A．13 B．14 C．15 D．16
3．数列－ ， ，－ ， ，…的第9项是(　　) A． B．－ C． D．－
4．下列数是数列{2n－1＋3}中的项的是(　　) A．19 B．21 C．24 D．27
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋1·sin ，则该数列的前4项依次为(　　) A．－1，0，－1，0 B．0，1，0，1 C．1，0，－1，0 D．－1，0，1，0
6．已知数列{an}的通项公式为an＝ －1，则此数列的第8项为(　　) A．4 B．7 C．15 D．10
7．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝10，则a3＝(　　) A．15 B．255 C．175 D．63
8．已知数列1×2，2×3，3×4，4×5，…，则72是该数列的第________项．(　　) A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题9．已知数列1，1，2，3，5，8，13，…，则根据规律写出的第10项为________．
10．已知数列{n2－3n＋4}，则32是它的第________项．
11．数列－1， ，－ ， ，…的一个通项公式为 ．
12．已知数列的通项公式an＝ ，则S6＝________．
13．已知数列{an}满足3an＋1＝－an，a2＝－ ，则a3＝____．
14．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－2，则a3＝________，an＝_____________．
三、解答题15．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：(1)2，2，2，2，…(2) ， ， ， ，…(3)－ ，1，－2，4，…
解：(1)an＝2.(2)an＝ .(3)an＝(－1)n·2n－2.
16．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－3n＋2.(1)这个数列的第6项是多少？(2)56是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都大于30?
解：(1)当n＝6时，a6＝62－3×6＋2＝20.(2)是，第9项．
理由：令an＝56，即n2－3n＋2＝56，解得n＝9或n＝－6(舍去).故56是这个数列的第9项．(3)令an＝n2－3n＋2>30，解得n>7或n