2026甘肃职教高考数学总复习 3.4　二次函数和分段函数课件

这是一份2026甘肃职教高考数学总复习 3.4　二次函数和分段函数课件，共48页。PPT课件主要包含了二次函数，－∞1，1＋∞，－1＋∞等内容，欢迎下载使用。
2．分段函数(1)在自变量的不同取值范围内，需要用__________的解析式来表示，这样的函数叫作分段函数．(2)分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的________.(3)求分段函数的函数值f(x0)时，首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入相应的解析式进行计算．
【例1】　已知函数f(x)＝x2，则下列说法中，不正确的是(　　)    A．函数f(x)＝x2是奇函数    B．函数f(x)＝x2的定义域是R，值域是[0，＋∞)    C．函数f(x)＝x2的图像关于y轴对称    D．函数f(x)＝x2的图像是抛物线
【点拨】　二次函数f(x)＝x2的图像是顶点在原点、对称轴是y轴的抛物线，其定义域是R，值域是[0，＋∞)，故是偶函数，因此A不正确．
【变式训练1】　已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列说法中正确的是(　　)    A．函数f(x)＝x2－2x－3是奇函数    B．函数f(x)＝x2－2x－3的定义域是R，值域是[0，＋∞)    C．函数f(x)＝x2－2x－3的图像关于y轴对称    D．函数f(x)＝x2－2x－3的顶点坐标为(1，－4)
【例2】　利用简单初等函数的特征，确定下列函数的定义域、单调性及奇偶性：(1)f(x)＝3x－3；(2)f(x)＝3x；(3)f(x)＝ ；(4)f(x)＝x2＋2x－3；(5)f(x)＝－x2－3.
【点拨】　判断简单基本函数的基本性质，需要注意函数的表达式及特性，并要牢记函数的基本性质及变化要求．
【解】　(1)在f(x)＝3x－3中，k＝3，b＝－3，∴f(x)中，定义域为R；k＞0，为增函数；b≠0，为非奇非偶函数．(2)在f(x)＝3x中，k＝3，b＝0，∴f(x)中，定义域为R；k＞0，为增函数；b＝0，是奇函数．
(3)在f(x)＝ 中，k＝2，∴f(x)中，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；k＞0，在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；是奇函数．(4)在f(x)＝x2＋2x－3中，a＝1，b＝2，c＝－3，∴f(x)中，定义域为R；在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增；是非奇非偶函数．
(5)在f(x)＝－x2－3中，a＝－1，b＝0，c＝－3，∴f(x)中，定义域为R；在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；b＝0，是偶函数．
【变式训练2】　(1)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3，求该函数的定义域、值域、顶点坐标、最值和单调区间；(2)已知二次函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[0，8]，求函数f(x)的值域、顶点坐标、最值和单调区间．
解：(1)f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以函数f(x)的定义域为R；值域为[－4，＋∞)；顶点坐标为(1，－4)；当x＝1时，f(x)有最小值等于－4；单调减区间为(－∞，1)，增区间为[1，＋∞).
(2)f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，由于函数f(x)＝x2－2x－3的定义域为[0，8]，所以函数的顶点坐标为(1，－4)；当x＝1时，f(x)有最小值等于－4，当x＝8时，有最大值等于45，所以值域为[－4，45]；单调减区间为(0，1)，增区间为[1，8].
【例3】　按照给定的条件，确定下列函数的解析式：(1)一次函数f(x)中，f(－1)＝0，f(1)＝－4；(2)反比例函数f(x)中，图像过点(2，－1)；(3)二次函数f(x)的顶点是(1，16)，与x轴的一个交点是(－3，0).
【点拨】　对于确定函数的解析式，一般情况下要根据函数的条件设出给定的函数表达式，再使用待定系数法确定系数，最后确定解析式．
【解】　(1)设一次函数为f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝0，f(1)＝－4，则 解得 ∴f(x)＝－2x－2.同理可得(2)f(x)＝ ，(3)f(x)＝－x2＋2x＋15.
【变式训练3】　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点(3，1)，与y轴的一个交点(0，10)，求f(x)的解析式．
解：依题意设函数的解析式为f(x)＝a(x－3)2＋1(a≠0)，将(0，10)代入解析式，即10＝a(0－3)2＋1，解得a＝1，故f(x)＝(x－3)2＋1＝x2－6x＋10.
【例4】　已知二次函数f(x)＝x2－ax＋b的图像关于y轴对称，且f(－1)＝3.(1)求函数解析式；(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性．
【点拨】　根据对称轴和f(－1)的值求出a，b的值．结合二次函数图像的开口方向和对称轴判断其在定义域上的单调性．
【解】　(1)∵二次函数f(x)＝x2－ax＋b的图像关于y轴对称，∴函数是偶函数，即a＝0，又∵f(－1)＝3，∴1＋b＝3，得b＝2，函数解析式为f(x)＝x2＋2.(2)由二次函数f(x)＝x2＋2的图像，得函数在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．
【变式训练4】　(2024年甘肃省分类考试)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点(1，3)，与x轴的一个交点是(0，2)，求f(x)的解析式．
解：依题意，设函数的解析式为f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，将(0，2)代入解析式，即2＝a(0－1)2＋3，解得a＝－1，故f(x)＝－(x－1)2＋3＝－x2＋2x＋2.
【例5】　(2020年甘肃省分类考试)一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有实数解，求m的取值范围．
【点拨】　根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的情况确定一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集是解决本题的关键．
【解】　∵一元二次方程x2－mx＋m－1＝0有实数解，∴Δ≥0，即(－m)2－4(m－1)≥0，也就是m2－4m＋4≥0，解得m∈R.因此，m的取值范围是(－∞，＋∞).
【变式训练5】　已知一元二次方程x2－mx＋m＋1＝0有两个不相等的实数解，求m的取值范围．
解：∵一元二次方程x2－mx＋m＋1＝0有两个不相等实数解，∴Δ>0，即(－m)2－4(m＋1)>0，也就是m2－4m－4>0，解得m2＋ .∴m的取值范围是(－∞，2－ )∪(2＋ ，＋∞).
【例6】　(2022年甘肃省分类考试)设一元二次函数f(x)满足f(1)＝0，f(0)＝－6，f(－3)＝0，求函数f(x)的最值．
【点拨】　利用待定系数法求二次函数的解析式时，根据已知条件恰当地设函数解析式的形式，将会为求解带来极大的方便．
【解】　设一元二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝2x2＋4x－6.即函数f(x)的最小值为 ＝－8.
【变式训练6】　(2023年甘肃省分类考试)求二次函数f(x)＝x2－1在区间[－2，3]上的取值范围．
解：二次函数f(x)＝x2－1的对称轴方程为x＝0，所以函数的最小值为－1；当x＝3时，函数的最大值为8.故函数的值域为[－1，8].
【例7】　设函数f(x)＝ 求：(1)函数的定义域；(2)f(2)，f(0)，f[f(－1)]的值．
【点拨】　求分段函数的函数值f(x0)时，应先判断x0所在的自变量的取值范围，然后代入相应解析式进行计算．
【解】　(1)依题意得函数的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)＝R.(2)f(2)＝2×2－3＝1，f(0)＝2×0－3＝－3，f(－1)＝1－(－1)2＝0，f[f(－1)]＝f(0)＝－3.
【变式训练7】　已知函数f(x)＝ 求：(1)函数的定义域；(2)f(0)，f(2)，f[f(2)]的值．
解：(1)分段函数的定义域是各段取值范围的并集，所以函数f(x)＝ 的定义域为R.(2)f(0)＝20＝1，f(2)＝－2×2＋1＝－3，f[f(2)]＝f(－3)＝－(－3)2－1＝－10.
一、单项选择题1．函数f(x)＝x2－2x＋3(　　) A．在(－∞，1)内是减函数 B．在(－∞，2)内是减函数 C．在(－∞，－1)内是减函数 D．在(－∞，－2)内是减函数
2．若函数f(x)＝ 则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，＋∞) B．[－3，3] C．[－8，－3] D．[－11，1]
3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋c的对称轴方程为x＝2，那么下列各式正确的是(　　)    A．f(2)